6. Теорема о полноте.

Рассмотрим теперь главную интерпретацию ИВ. Это будет отображение где– множество всех формул, а– множество всех секвенций. Для атомарных формулзначениявыберем произвольным образом. На остальные формулы отображениераспространим по обычным правилам:гдеОтображениеможно рассматривать как присвоение значений истинности (“истина” или “ложь”) пропозициональным переменным. После того, как такое присвоение произошло, можно говорить об истинности или ложности других формул. Истинность или ложность секвенций определяется следующим образом:

1. либо при некоторомлибо

2. 

3. 

4. 

Сформулируем теперь эти определения другими словами. Пусть – формула ИВ, зависящая от пропозициональных переменных (атомарных формул) а– набор из 0 и 1. Будем говорить, чтоформула истинна на наборе если при. . . ,Пусть дана секвенцияи– пропозициональные переменные, входящие в какие-либо из формулСеквенцияистинна на наборе из 0 и 1, если на этом наборе либо хотя бы одно изложно, либоистинно. Далее, секвенцияистинна на наборе если хотя бы одна из формулна этом наборе ложна. Секвенцияистинна на данном наборе, если на этом наборе истинно. Наконец, секвенциясчитаетсяложной на любом наборе.

Отметим, что главная интерпретация является частным случаем интерпретации, рассмотренной ранее. Действительно, пусть состоит из одного элемента. ТогдаСчитаем для ф-лыеслииеслиНепосредственно проверяется, что получится главная интерпретация.

Формула (соответственно, секвенция) называетсятождественно истинной, если она истинна на любом наборе значений истинности пропозициональных переменных. Нетрудно видеть, что тождественная истинность формулы равносильна тождественной истинности секвенции

Лемма 1. Секвенция истинна на наборев том итолько в том случае, если секвенция истинна на этом наборе.

Док-во. Пусть истинна на набореТогда выполняется хотя бы одно из условий: 1) хотя бы одна из формул множестваложна на этом наборе; 2) формулаложна на этом наборе; 3) формулаистинна на этом наборе. Разберём эти случаи отдельно. 1) Если какая-нибудь формула изложна, тоистинна, а значит,истинна. 2) Еслиложна, тоистинна, поэтомуистинна. 3) Еслиистинна, тоистинна, а значит,также истинна.

Следствие. Секвенция тождественно истинна только в том случае, если секвенциятождественно истинна.

Лемма 2. Секвенция доказуема только в том случае, если секвенциядоказуема.

Док-во. Если секвенция имеет доказательство, то по правилу 7 это доказательство можно продолжить и получитьНаоборот, если доказана секвенциято из неё по правилу 12 получимУчитывая легко доказываемый фактпо правилу 8 получим

Лемма 3. а) Если секвенция доказуема, то она тождественно истинна;

б) если формула доказуема, то она тождественно истинна.

Док-во. Нетрудно проверить, что аксиомы являются тождественно-истинными секвенциями. Также легко проверяется, что применение правил вывода эту тождественную истинность не нарушает. Значит, любая выводимая (доказуемая) секвенция тождественно истинна. Утверждение, касающееся формул, сводится к уже доказанному для секвенций.

Лемма 4. Если формулы иэквивалентны, то булевы функцииисовпадают.

Док-во. Можно считать, что формулы изависят от одних и тех же пропозициональных переменных(переменные, которые не входят в формулу, считаем входящими фиктивно). По условиюи– доказуемые секвенции. По лемме 3 они тождественно истинны. Если на каком-либо набореформулаистинна, то так как секвенцияистинна, тона этом наборе тоже истинна. Аналогично доказывается, что еслиистинна на наборетотакже истинна на этом наборе. Итак,иистинны на одних и тех же наборах, значит,

Для формулы обозначим черезмножество наборовна которых она истинна.

Замечание. Лемма 4 на самом деле является следствием более общего результата: если для некоторых формул исеквенциядоказуема, то

Теорема 2 (о функциональной полноте ИВ). Пусть в исчислении высказываний бесконечно много атомарных формул. Тогда для любой булевой функции существует формулаисчисления высказываний, зависящая от атомарных формултакая, что

Доказательство. Если тождественно равна 0, то в качестве формулыможно взятьЕсли жето, как известно из курса дискретной математики,представима в совершенной дизъюнктивной нормальной форме:

Следовательно, в качестве формулы исчисления высказываний подойдёт формула

Из леммы 3 мы видели, что доказуемыми могут быть только тождественно истинные формулы или секвенции. Оказывается (и это мы докажем в следующей теореме), что верно и обратное: тождественно истинная формула или секвенция имеет формальное доказательство в ИВ. Этот факт мы будем называть полнотой исчисления высказываний.

Теорема 3 (о полноте ИВ).

(а) Формула исчисления высказываний доказуема тогда и только тогда, когда она тождественно истинна.

(б) Секвенция ИВ доказуема тогда и только тогда, когда она тождественно истинна.

Доказательство. Ввиду леммы 2 и следствия из леммы 1 доказуемости (соответственно, тождественные истинности) следующих секвенций эквивалентны: . . . Таким образом можно “перебросить” все формулы, стоящие слева от значкав правую часть и получить секвенцию видадля которой доказуемость (соответственно, тождественная истинность) равносильна доказуемости (соответственно, тождественной истинности) формулы(по определению). Следовательно, нам надо доказать только утверждение (а).

Ввиду леммы 3 нам следует доказать лишь достаточность: если формула тождественно истинна, то она доказуема. Пусть– тождественно истинная формула. По теореме 2 предыдущего раздела существует формулатакая, что

Положим . . . ,Так както по лемме 4тождественно истинна. Но это означает, что формулытождественно истинны. Рассмотрим какую-нибудь одну из них, например,Если всеразличны, тоне будет тождественно истинной, так как обращается в 0 на таком наборе, гдеЗначит, вкакая-либо пропозициональная переменная (скажем,встречается вместе со своим отрицанием. Следовательно,можно преобразовать:Секвенция доказуема по лемме 4 § 1.1. По правилу вывода 4 получим, что секвенция доказуема. Значит, формуладоказуема. Аналогично получим, что формулыдоказуемы. По правилу 1 получим, что формуладоказуема. Следовательно, формулаа значит, и формуладоказуема.