25. Элиминация кванторов.

Пусть – модель (где– носитель,– сигнатура),–п-местный предикат на множестве Мы будем говорить, что предикат выразим в данной модели, если существует формула логики первого порядка такая, что

Приведём теперь примеры невыразимых предикатов. Простейшим примером служит предикат в модели . Действительно, интуитивно ясно, что если в сигнатуре нет арифметических операций, то все элементы множества Z равноправны и отличить число 0 от других чисел невозможно. Разумеется, эти рассуждения не доказывают невыразимость предиката

Автоморфизмом модели называется взаимно однозначное отображениесохраняющее значения истинности всех формул. В предыдущем примере автоморфизмом было отображение

Две формулы УИП мы будем называть эквивалентными, если они имеют один и тот же набор свободных переменных и значения истинности этих формул будут одинаковы, какие бы значения из множества мы ни придали свободным переменным.

Оказывается, в некоторых моделях для всякой формулы УИП, содержащей кванторы, существует эквивалентная ей формула без кванторов. В этом случае мы будем говорить, что модель допускает элиминацию кванторов.

Теорема. Модель где = – отношение равенства,– унарная операция и 0 – нульарная операция, допускает элиминацию кванторов.Доказательство. Индукция по количеству кванторов в формуле. От квантора в любой формуле можно избавиться, заменив формулуна эквивалентную ей формулуТаким образом, нам достаточно доказать, что формулагдене содержит кванторов, имеет эквивалентную ей бескванторную формулу. Формулаполучается из атомарных формул с помощью логических связок. Атомарные формулы, содержащие переменнуюимеют видилиили

Формула первого типа либо тождественно истинна, либо тождественно ложна, поэтому её можно заменить на эквивалентную формулу, не содержащую илиФормулы второго и третьего типов можно кратко записать в видегдеили(– константа, не обязательно положительная),

Рассмотрим формулу

Очевидно, что если формула истинна на каком-либо наборето формулатакже истинна на этом наборе. Обратное в общем случае неверно, так какможет быть сделана истинной, когдадля некоторогоотличного от всехНо тогда все атомарные формулыложны. Заменим каждую из этих формул на какую-нибудь тождественно ложную формулу и обозначим полученную формулу черезТогда формулабудет эквивалентна формуле

26. Фильтр. Центрированная система множеств.

Фильтром на множестве называется совокупностьподмножеств множестваобладающая свойствами:

1. (2) (3)

Примеры фильтров:

1. Пусть Тогда– фильтр. Он называется фильтром, порождённым множеством

2. Пусть Тогда– фильтр. Он называетсяглавным фильтром, порождённым элементом (максимальный по включению)

3. Пусть – бесконечное множество и– множество такихчтоТогда– фильтр.

Пусть – совокупность подмножеств множества.Она называетсяцентрированной системой подмножеств (или: обладает свойством конечных пересечений), если пересечение любого конечного числа множеств из непусто, т.е.

Теорема 1. Всякая центрированная система подмножеств вкладывается в фильтр. Доказательство. Пусть – центрированная система подмножеств множестваОбозначим черезсовокупность таких подмножествмножествачтодля некоторыхПроверим, что– фильтр. Из определения системыследует, чтопри всехЗначит,ПустьиТак какпри некоторыхто такжеЗначит,Наконец, пустьТогдапри некоторыхСледовательно,а значит,