Вопросы

Вопросы 1

1. Исчисление высказываний. Формулы. Теорема о единственности представления формулы ИВ в виде конъюнкции, дизъюнкции, отрицания или импликации других высказываний. 2

2. Правила вывода. Секвенции. Доказательства. 4

4,5. Непротиворечивость классического ИВ. 6

6. Теорема о полноте. 8

7. Разрешимость классического исчисления высказываний. 11

8,9. Понятие об интуиционизме и конструктивизме в логике. Интуиционистское ИВ. Недоказуемость закона исключённого третьего. 12

10. Теорема Шрёдера – Бернштейна. 14

11. Счетные множества и их свойства. 16

12. Несчестность множества действительных чисел. Свойства множеств мощности континуума. 18

13. Связь между счетными множествами и множествами мощности континуума. 20

14. Теорема Кантора о мощности множества всех подмножеств данного множества. 21

15. Эквиваленстность множеств(см.ниже) 22

16. Вполне упорядоченные множества и их свойства. 23

17. Аксиома выбора. Теорема Цермело. 25

18. Лемма Цорна. 27

19. Ординальные числа и их свойства. 28

20. Кардинальные числа и их свойства. 31

21. Мощность множества АхА 32

22. Аксиомы Пеано натуральных чисел. Коммутативность сложения. 33

23. Аксиомы действительных чисел. 35

24. Модель, сигнатура. Формулы исчисления предикатов(логики первого порядка). Истинность формулы в данной модели. 36

25. Элиминация кванторов. 39

26. Фильтр. Центрированная система множеств. 40

27. Ультрафильтр. Характеризация ультрафильтров. 41

28. Ультрапроизведение моделей. Истинность формул на ультрапроизведении. Th. Лося. 42

29. Теорема Гёделя – Мальцева и следствие из нее. 45

31. Машины Тьюринга и вычислимые функции. Понятие алгоритма. Тезис Чёрча. 46

1. Исчисление высказываний. Формулы. Теорема о единственности представления формулы ив в виде конъюнкции, дизъюнкции, отрицания или импликации других высказываний.

Алфавит ИВ содержит следующие символы:

1. пропозициональные переменные – они обозначают элементарные высказывания – это “кирпичики”, из которых будут формироваться другие, более сложные высказывания;

2. логические связки:

3. служебные символы: “(“, “)”, “,” (левая скобка, правая скобка, запятая);

4. символ

Формула ИВ (высказывание) определяется индуктивно по следующей схеме:

1. атомарные формулы (простейшие) – это пропозициональные переменные;

2. если и– формулы, то– формулы.

Итак, формулами ИВ называются только те слова, записанные в алфавите ИВ, которые получаются по вышеприведённой схеме. Например, если – пропозициональные переменные, то– формулы, а– не формулы.

Пусть дано слово в алфавитеПодсловом этого слова мы называем всякое слово вида гденачалом слова называется подслово видаСлово, в котором нет ни одной буквы, называетсяпустым словом и обозначается символом Пустое слово является подсловом любого слова.Подформулой формулы мы будем называть подслово словакоторое само является формулой.

Лемма 1. Если и– формулы и– началотоДоказательство проведём индукцией по длине формулы т.е. по количеству символов, входящих вЕсли длина равна 1, то– атомарная формула, тогдатоже атомарная; очевидно, чтоЕслине атомарна, тоначинается либо слибо сПустьначинается с символаТогдагде– формула. Так как– началототакже начинается споэтомугде– формула. Очевидно,– началоЗначит, по предположению индукцииОтсюда следует, чтоНаконец, разберём случай, когданачинается с левой скобки.Тогда где– один из символоваи – формулы. Так как – началототакже начинается с левой скобки, а значит,гдеаи–формулы. Так как – началото либо– началолибо – начало В обоих случаях по предположению индукции получаемНо тогдаиОтсюда следует, что

Теорема 1. Всякая неатомарная формула единственным образом представима в одном из следующих видов:гдеи– формулы.Доказательство. Существование такого представления следует из определения формулы. Надо лишь доказать единственность. Понятно, что если представима в видето её нельзя представить в видеи надо лишь применить предположение индукции к формулеПустьпредставима в виденеоднозначно. ТогдаОдна из формулявляется началом другой. Значит, по лемме 1Но тогдаиЭто доказывает единственность.

Следствие. Пусть – формула ИВ. Тогда с каждым вхождением символаили символав эту формулу однозначно связывается вхождение вподформулы, начинающейся с этого символа.Доказательство. Действительно, если в есть символто при построении формулыранее была построена формуланачинающаяся с этого символа, причём– тоже формула. Формулакак раз и является подформулой, начинающейся с данного вхождениясимвола Единственность следует из леммы 1. Аналогично разбираются случаи вхождения всимвола (.