Экзамен по МатЛогике. Вопросы и ответы. Шпоры на мобильный / ЭКЗАМЕН / otveti_mlta_ed
.pdf38. Существование перечислимого неразрешимого множества. |
|
|
|
|
|
|
|||
Теорема 8. Существует перечислимое неразрешимое множество натуральных чисел. |
|
|
|||||||
Доказательство. |
Рассмотрим |
вычислимую |
функцию, |
не имеющую |
вычислимого |
всюду |
|||
определённого продолжения. Докажем, что |
её область |
определения |
D |
будет |
искомым |
||||
множеством. В самом деле, по |
теореме 1 |
множество |
D |
перечислимо. Если бы |
D |
было |
|||
|
f (x), если x D, |
|
|
|
|
|
|
||
разрешимым, то функция g(x) |
0, если x D |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
была бы вычислимым всюду определённым продолжением функции f . Противоречие. |
|
|
|||||||
Теорема 5. Не существует вычислимой всюду определённой функции двух аргументов, универсальной для класса всех вычислимых всюду определённых функций одного аргумента. Доказательство. Для доказательства мы применим диагональный метод Кантора. Предположим, что такая функция U (n, x) существует. То есть при фиксированном n функция fn (x) U (n, x) – п-я всюду определённая вычислимая функция от x. Рассмотрим функцию g(x) U (x, x) 1. Очевидно,
g(x) – |
всюду определённая вычислимая функция. Значит, |
g(x) |
fn (x) |
при некотором |
n. |
Но |
g(n) |
fn (n) 1, что противоречит равенству g(n) fn (n). |
|
|
|
|
|
39. алгоритмически неразрешимые задачи. Алгоритмическая неразрешимость проблемы остановки
машины Тьюринга. |
|
|
Будем говорить, что для машины Тьюринга |
M проблема остановки алгоритмически разрешима, |
|
если существует другая машина Тьюринга T , |
которая для каждого натурального числа n выясняет, |
|
остановится или не остановится машина M , |
|
имея на сходе число n. Для определённости пусть T , |
имея на входе число n, выдаёт на выходе 1, если M останавливается (будучи запущенной на ленте, на которой написано число n) и выдаёт на выходе 0, если M не останавливается.
Теорема 9. Существует машина Тьюринга
M ,
для которой проблема остановки алгоритмически
неразрешима.
Доказательство. Возьмём вычислимую функцию
f (x),
не имеющую всюду определённого
вычислимого продолжения (такая функция существует по теореме 7). По теореме 8 её область определения является неразрешимым множеством. Пусть M – машина Тьюринга, вычисляющая функцию f (x). Тогда проблема остановки машины M является алгоритмически неразрешимой задачей.