Экзамен по МатЛогике. Вопросы и ответы. Шпоры на мобильный / ЭКЗАМЕН / otveti_mlta_ed

п-арной операцией на множестве

A называется отображение f : A

n

A.

п-арным отношением на A называется отображение P : A

n

{0, 1}.

Определение.

Сигнатурой называется пара

, , где { f } – набор символов операций

( f

– символ

n -арной операции), {P }

–

набор символов отношений (P

– символ

m

-

арного отношения).

Определение.

Пусть ,

– сигнатура.

Моделью

сигнатуры называется множество

A

арности на множестве

A. Операцию мы будем обозначать той же буквой, что и символ операции, а

отношение – так же,

как символ отношения. Множество A мы будем называть носителем

модели.

Пусть задана сигнатура , ,

т.е. множество

символов операций и множество

символов

x, y, z,t, x1, x2 , ...; алфавит

X ,

как правило, будет предполагаться счётным;

2)

если t

,t

2

, ... ,t

n

– термы и

f

– символ п-арной операции, то f (t

,t

2

, ... ,t

n

) – терм.

1

1

Формула

логики первого порядка и множество свободных переменных

X ( )

формулы

определяются индуктивно:

1)

если t1,t2

, ... ,tn

– термы и

P

– символ

п-местного отношения, то

P(t1,t2

, ... ,tn )

– формула

(такие

формулы называются

атомарными);

свободными

переменными

формулы.

P(t1,t2

, ... ,tn )

называются

предметные

переменные,

входящие

хотя

бы

в

один

из термов

t ,t

2

, ... ,t

n

;

1

2)

если – формула, то – формула и X ( ) X ( );

3)

если и

– формулы и ни одна из предметных переменных не входит свободно в одну из этих

формул,

а несвободно

в другую,

то

( ),

( ),

( )

–

формулы

и

X ( ) X ( ) X ( ),

X ( ) X ( ) X ( ),

X ( ) X ( ) X ( );

4)

если – формула и x – предметная переменная, которая либо не входит в формулу , либо

входит в неё свободно, то x и x – формулы и X ( x ) X ( x ) X ( ) \ {x}.

Формула называется замкнутой, если она не содержит свободных переменных, т.е.

X ( ) .

ей формула без кванторов. В этом случае мы будем говорить, что модель

допускает элиминацию

кванторов.

Теорема. Модель

Z, , S, 0 , где = – отношение равенства, S(x) x 1

– унарная операция и 0 –

нульарная операция, допускает элиминацию кванторов.

Доказательство. Индукция по количеству кванторов в формуле. От квантора

в любой формуле

можно избавиться, заменив формулу x

на эквивалентную ей формулу x . Таким образом,

нам достаточно доказать, что формула (x1

, ... , xn ) x (x, x1, ... , xn ), где

не содержит кванторов,

имеет эквивалентную ей бескванторную формулу. Формула (x, x1, ... , xn )

получается из атомарных

формул с помощью логических связок. Атомарные формулы, содержащие переменную

x, имеют

вид

S(S( ... S(x)...) S(S(... S(x)...),

или

S(S( ... S(x)...) S(S(... S(x j )...),

или

S(S( ... S(x)...) S(S(... S(0)...).

заменить на эквивалентную формулу,

не содержащую x :

0 0

или

S(0) 0. Формулы второго и

третьего типа можно кратко записать в виде

x t j ,

где

t j x j

c

или

t j

c ( c – константа, не

обязательно положительная),

j 1, 2, ... , k. Рассмотрим формулу

(x

, ... , x

n

) (t

, x

, ... , x

n

) ... (t

k

, x , ... , x

n

).

1

1

1

1

Очевидно, что если формула

истинна на каком-либо наборе

(a1

, ... , an ),

то формула также

истинна на этом наборе. Обратное в общем случае неверно, так как

может быть сделана

истинной, когда (x, x1, ... , xn ) И

для некоторого

x, отличного от всех

t1

, ... ,tk . Но тогда все

атомарные формулы

x ti

ложны. Заменим каждую из этих формул на какую-нибудь тождественно

ложную формулу и обозначим полученную формулу через .

Тогда формула

будет

Пусть S – совокупность подмножеств множества X . Она называется центрированной системой

подмножеств (иногда говорят: S обладает свойством конечных пересечений),

если пересечение

любого конечного числа множеств из S непусто, т.е. A1, A2 , ... , An S A1 A2

... An .

Теорема 1. Всякая центрированная система подмножеств вкладывается в фильтр.

Доказательство. Пусть S – центрированная система подмножеств множества

X . Обозначим

через F совокупность таких подмножеств B множества X , что B A1 ... An

для некоторых

A1, ... , An S. Проверим, что F – фильтр. Из определения системы S следует, что B при всех

B F. Значит,

F. Пусть B F и C B. Так как B A1 ... An при некоторых A1, ... , An S, то

также C A1

... An . Значит,

C F.

Наконец, пусть B,C F. Тогда B A1

... An ,

C An 1 ... Ak при некоторых

A1, ... , Ak S. Следовательно, B C A1 ... Ak ,

а значит,

B C F.

Пусть U

– ультрафильтр на множестве I

и

{Ai | i I}

– совокупность моделей одной сигнатуры

, . Введём на произведении

Ai

отношение

~, полагая (ai ) ~ (bi ) {i | ai bi } U.

i I

(ai ) ~ (bi )

и (bi ) ~ (ci ). Тогда

I1

{i

| ai bi }U

и

I2 {i | bi

ci }U. Если i I1 I2 , то

ai bi

и bi ci ,

откуда

ai

ci . Следовательно,

{i | ai

ci } I1 I2

,

а значит, {i | ai ci } U.

Таким

образом, отношение

~ транзитивно и потому является отношением эквивалентности.

Множество Ai

отношением

~

разбивается на классы эквивалентности. Множество классов

i I

эквивалентности

мы

будем

обозначать

U Ai

и называть

ультрапроизведением.

Класс

i I

эквивалентности,

в котором

лежит

элемент (ai ) Ai , мы

будем обозначать [(ai )].

Чтобы

Формула

(x1

1

k

, ... , xk ) данной сигнатуры истинна на наборе [(ai

)], ... ,[(ai )] в том и только том

случае, если {i

1

k

) И} U.

| (ai

, ... , ai

Доказательство.

Избавимся в

формуле

от

связок

и

и квантора ,

пользуясь

эквивалентностями

2

(

2

),

2

2

,

x x . Дальнейшее

1

1

1

1

доказательство проведём индукцией по длине формулы

,

понимая под длиной количество связок

, и кванторов ,

входящих в формулу.

Пусть – атомарная формула, то есть

(x1

, ... , xk ) P(t1

(x1,..., xk ), . . . , tn (x1,..., xk )),

где P

– п-местный предикат, а

t1, ... ,tn

– термы.

Выясним, когда формула (x1, ... , xk ) истинна

на наборе

1

k

)]. Это будет в том и только том случае, если

x1 [(ai )], . . . ,

xk [(ai

{i | P(t (a1

,..., ak ), . . . , t

n

(a1

,..., ak )) И} U ,

1

i

i

i

i

Наоборот,

пусть

I

1

k

) И} U.

Тогда

для

i I2

найдём такое

bi ,

что

2 {i | (ai

, ... , ai

(b

, a

1

, ... , a

k

) И}.

Для

i I \ I

в

качестве b

возьмём

любые

элементы.

Пусть

i

i

2

i

i

I

1

{i | (b

, a1, ... , ak ) И}. Тогда I

2

I

.

Так как I

2

U , то I

1

U. Следовательно, выполнено ( ).

i

i

i

1

Следствие.

Если формула (x , ... , x

k

)

для каждого i

истинна на наборе (a1, ... , ak ) в модели

A , то

1

i

i

i

истинна в U Ai

на наборе

[(a1i )], .. ,[(aik )] .

i I

31. Теорема Гѐделя – Мальцева и следствие из неѐ.

Предложением мы будем называть замкнутую формулу, т.е. формулу,

не содержащую свободных

T

истинны на M . Далее, если T – теория, а Ф – замкнутая формула УИП, то мы пишем T | , если

Ф

истинна на любой модели теории T , т.е. Ф истинна на любой модели, на которой истинны все

T0 T

имеет модель, то теория

T

имеет модель.

систему

можно вложить в некоторый

ультрафильтр D. Рассмотрим ультрапроизведение

G

D

G . Пусть T. Тогда Ф истинна на всех G , где S . Но S T , значит, по теореме

i I

Лося

истинна на ультрапроизведении G.

Таким образом, G является моделью для T. К

Следствие. Пусть T { } – множество предложений логики первого порядка и

T | .

Тогда

существует конечное подмножество T0 T такое, что T0 | .

Доказательство. Предположим противное, т.е. что T0 | для любого конечного T0 T.

Тогда

для каждого конечного T0 T существует модель, для которой предложение

истинно. По

32. Теорема Лѐвенгейма-Скулема о повышении мощности

Теорема Пусть

T

– множество замкнутых формул сигнатуры

, , содержащей отношение

равенства, и

–

бесконечная мощность. Если существует бесконечная нормальная модель A, в

которой все предложения из T истинны, то существует нормальная модель B мощности

с этим

свойством.

Доказательство. Добавим к сигнатуре

множество констант (символов нульарных операций)

{ci

| i I}, где

I

– множество мощности

,

а к множеству T добавим аксиомы ci c j

(при

i j).

Полученную совокупность формул обозначим через T . Всякое конечное подмножество множества

T

имеет модель: действительно, моделью может служить A – все предложения из

T

на ней

выполнены, а конечное число условий

ci

c j , . . . ,

ci

c j

нетрудно соблюсти, присвоив

1

1

m

m

константам с разными индексами различные значения из

A. Так как всякое конечное подмножество

множества T имеет модель, то само T

имеет модель. Обозначим эту модель через B.

Элементы,

которым в модели B присвоены значения констант ci ,

различны ввиду наличия аксиом ci c j .

Следовательно, | B | .

33. Машины Тьюринга и вычислимые функции. Понятие алгоритма. Тезис Чѐрча.

Машиной Тьюринга называется частичное отображение

M

{0, 1, ... , n 1} {0, 1} {0, 1, ... , n 1} { , } {0, 1}.

Здесь

, обозначает “лево”, “право”. Тот факт, что отображение

M частичное, означает, что M

может

быть определено не для всех

наборов аргументов.

Машина Тьюринга M

работает с

функцию

f (x1, ... , xn 1). Пусть зафиксированы значения

x1, ... , xn . Тогда полагаем:

f (x , ... , x

n

,0)

g(x , ... , x

n

),

1

1

f (x

, ... , x

n

, y 1)

h(x , ... , x

n

, y, f (x , ... , x

n

, y)).

1

1

1

Эти равенства определяют функцию

f (x1, ... , xn 1)

однозначно. Функция f называется функцией,

полученной с помощью оператора R примитивной рекурсии. Используется запись

f

R (g, h).

Обобщение довольно глубокое, так как от функции

f

не требуется, чтобы она была взаимно

каждому натуральному числу n

определяет, принадлежит

n

множеству

X или не принадлежит.

Другими словами, множество

X

разрешимо в том

и только

том случае, если его

Теорема 1. Пусть

X

– подмножество множества натуральных чисел. Тогда следующие условия

эквивалентны:

(2) (3).

Пусть

f

– вычислимая функция с областью определения X .

Тогда существует машина

Тьюринга

M , которая для каждого n X

вычисляет f (n) и останавливается, а при

n X

работает

бесконечно долго.

Пусть M

–

машина, которая запоминает значение аргумента

n

и после

завершения работы машины M (в случае завершения её работы) стирает

f (n) и записывает вместо

него n. Тогда множество значений функции, вычисляемой машиной

будет

совпадать с

M ,

множеством X .

(3) (1).

Пусть

X

–

множество значений функции

f , вычисляемой

машиной

Тьюринга M .

Обозначим через M

машину,

которая вначале работает, как

M , т.е.

вычисляет

f (n),

а затем

~

заменяет

f (n) на 0. Очевидно, M

вычисляет X .

37. Универсальные вычислимые функции.

Функция

U (n, x)

двух

натуральных аргументов называется

универсальной

для

класса всех

вычислимых функций одного аргумента, если для каждого n функция Un (x) U (n, x)

вычислима и

любая вычислимая функция f (x)

одного переменного совпадает с одной из функций U n (x).

Теорема 4. Существует вычислимая функция двух аргументов, являющаяся универсальной функцией

для класса всех вычислимых функций одного аргумента.

Доказательство. Вычислимые (т.е. рекурсивные) функции одного аргумента получаются из

функций

о (x) 0, s (x) x 1 с помощью операций суперпозиции S, примитивной рекурсии R и

минимизации М. Значит, всякая функция одного переменного – это слово в алфавите A { о, s, S, R,

M, (, )}.

Очевидно, существует алгоритм A перебора всех таких слов (начиная со слов длины 1), а

также алгоритм B “отбраковывания”

бессмысленных слов, т.е. слов, не определяющих никакой

функции. Далее, существует алгоритм

С “перевода” слова, задающего рекурсивную функцию, в

программу машины Тьюринга. Алгоритм вычисления универсальной функции U (n, x)

будет состоять