otveti_mlta_ed

Добавил:

XStreaM Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Математическая логика и теория алгоритмов

Файл:

Теорема 1 (о замене). Если

A1 B1 и A2 B2 , то A1 B1,

A1 A2 B1 B2 , A1 A2 B1 B2 ,

Следствием этой теоремы является тот факт, что если A B, то любое вхождение формулы A

более сложную формулу

может быть заменено на формулу

B, причѐм новая формула будет

эквивалентна формуле . Доказательство осуществляется индукцией по длине формулы . К

.pdf

Скачиваний:

142

Добавлен:

23.01.2015

Размер:

1.58 Mб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

1.Исчисление высказываний. Формулы. Теорема о единственности представления формулы ИВ в виде конъюнкции, дизъюнкции, отрицания или импликации других высказываний.

Алфавит ИВ содержит следующие символы:

1) пропозициональные переменные	P	, P2	,	Q, ...	– они обозначают элементарные высказывания –
	1

это “кирпичики”, из которых будут формироваться другие, более сложные высказывания;

2)логические связки: , , , ;

3)служебные символы: “(“, “)”, “,” (левая скобка, правая скобка, запятая);

4)символ | .

Формула ИВ определяется индуктивно по следующей схеме:

1)атомарные формулы (простейшие) – это пропозициональные переменные;

2)если и – формулы, то , ( ), ( ), ( ) – формулы.

Пусть дано слово	w xi	xi
	1	2

называем всякое слово вида

... xik

x	i	s	x	i	s 1

в алфавите

... xi	,	где 1 s
t

X{x1, x2 , x3 , ...}.

t k; началом

Подсловом этого слова мы

слова

называется подслово

вида xi	xi	... xi	(m k).	Слово, в котором нет ни одной буквы, называется пустым словом и
1	2	m
обозначается символом				.	Пустое слово является подсловом любого слова.			Подформулой
формулы мы будем называть подслово слова						, которое само является формулой.
Лемма 1. Если			и – формулы и – начало			, то .
Теорема 1.		Всякая неатомарная формула				единственным образом представима в одном из
следующих видов: 0 ,				(1 2 ), (1 2 ),		(1 2 ), где 1 и 2 – формулы.
Доказательство.			Существование такого представления следует из определения формулы.							Надо
лишь доказать единственность. Понятно, что если представима в виде 0								, то её нельзя
представить в виде ( 1 2 ),					и надо лишь применить предположение индукции			к формуле		0 .
Пусть представима в				виде	( 1 2 ) неоднозначно. Тогда				Одна из
							( 1 2 ) ( 1 2 ).
формул	1
		, 1 является началом другой. Значит, по лемме 1 1					1. Но тогда и		2 2 .

Это доказывает единственность.

2. Генценовское ИВ. Правила вывода. Секвенции. Доказательства. Допустимые правила.

Секвенцияяи мы будем называть записи одного из следующих видов:

(1)	A1, ... ,	An	\| B
(2)	A1, ... ,	An	\|
(3)	\| B
(4)	\|

Здесь

A	, ... , A	, B
1	n

– формулы ИВ, знак | читается “выводится. Секвенция (1) расшифровывается

так: из формул

A	, ... , A
1	n

выводится формула

Секвенция (2) означает, что совокупность формул

A	, ... , A
1	n

противоречива. Секвенция (3) означает, что формула B выводима. Секвенцию (4) мы

комментировать не будем. Она не будет иметь доказательства ни при каких обстоятельствах. Аксиомами ИВ называются секвенции вида A | A, где A – формула (не обязательно атомарная).

Доказательства осуществляются на основе правил вывода, список которых мы приводим.

Правила вывода <…>

Доказательством Называется последовательность секвенций

где каждое

S	S	2	. . .	S	n	,
1		2			n

– либо аксиома, либо получается из секвенций

S	, S	2	, ... , S	n 1
1		2		n 1

с помощью правил

вывода. Правило вывода применяется следующим образом: если секвенции, стоящие в числителе, уже встречались в доказательстве, то на любом дальнейшем шаге доказательства мы можем написать секвенцию, стоящую в знаменателе.

допустимые правила:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

A1, ... , An | C

B1, ... , Bm | C

| A , A | B| B

, A, B, 1 | C

, A B, 1 | C

| A A

| A

, A || A

при условии, что


		,..., A } {B ,..., B			}
{A		,..., A } {B ,..., B		m	}
	1	n	1	m
		\| A
	з)	, A \|
			, A \| B
	и)	, B \| A
		, A \| B
	к)		, B \| A
		, A \| B
	л)	, B \| A
		, A \| B
	м)	, B \| A

3. Доказательство секвенций A A | и | A A.

Лемма 4. Для любой формулы A доказуема секвенция

| A A.

	Доказательство.
(1)	A \| A	(аксиома);
(2)	A \| A A	(из (1) по правилу 5);
(3)	(A A) \| (A A)	(аксиома);
(4)	A, (A A) \| A A	(из (2) по правилу 12);
(5)	A, (A A) \| (A A) (из (3) по правилам 11, 12);
(6)	A, (A A) \|	(из (4) и (5) по правилу 10);
(7)	( A A) \| A	(из (6) по правилам 9, 11);
(8)	(A A) \| A A	(из (7) по правилу 4);
(9)	(A A) \|	(из (3) и (8) по правилу 10);
(10)	\| A A	(из (9) по правилу 9).

Лемма 5. Для любой формулы A доказуема секвенция A A

| .

Доказательство.

(1)	A
(2)	A
(3)	A
(4)	A

  

A | A AA) | AA) | AA) |

(аксиома); (из (1) по правилу 2);

(из (1) по правилу 3); (из (2) и (3) по правилу 10).

4. Эквивалентные формулы. Приведение формулы к нормальному виду.
Две формулы A и	B называются эквивалентными (обозначается: A B),		если доказуемы
секвенции A \| B и	B \| A.
Предложение 1. Отношение является отношением эквивалентности.
Доказательство.	Рефлексивность и симметричность отношения		очевидны.	Докажем
транзитивность. Пусть A B и B C. Тогда A \| B, B \| A, B \| C, C		\| B. Так как A \| B и		B \| C,	то
		A C.
по правилу (в ) A \| C. Аналогично получаем C \| A. Таким образом,		A C.

Замечание. Впоследствии мы докажем, что эквивалентность формул означает, что эти формулы совпадают как булевы функции, у которых аргументами являются атомарные формулы. Но это будет сделано лишь после достаточного развития теории.

Предложение 2. Если A B, то для любой конечной последовательности формул		доказуемость
секвенции \| A равносильна доказуемости секвенции \| B.

Положим

	P,	если 1,
P
P
	P, если 0.

Пусть

P , ... , P
1	m

– атомарные формулы. Выражение вида

		m
P 1	... Pm		будем называть элементарной дизъюнкцией, если слагаемые в этом выражении
1
				P
все разные. При этом, вообще говоря, формулы				1, ... , Pm не обязательно различные
Теорема 2.		Для всякой формулы , рассматриваемой как выражение от атомарных формул

существует формула

такая, что

1, ... , Pn

... P

k ) ... (

(P 1

m ) (P 1

... P

где каждая скобка является элементарной дизъюнкцией.

Доказательство. Вначале избавимся в формуле

от знака импликации

эквивалентность A B A B.

Далее, пользуясь законами де-Моргана

(

	...
P 1	...	P t
s		s
1		t
используя
A B) A

( )

(A B) A B,

а также законом двойного отрицания

A A,

мы сможем добиться того,

чтобы знаки отрицания дистрибутивность A

(

стояли только при атомарных формулах. Затем, используя

C) (A B) (A C), мы сможем сделать так, чтобы внешним

действием была конъюнкция, т.е. получить выражение вида

( ).

Наконец, благодаря

эквивалентностям A A A, A A A мы можем привести подобные члены, после чего каждая скобка в ( ) действительно будет элементарной дизъюнкцией.

5.Интерпретация ИВ. Истинность формул и секвенций на наборе переменных. Тождественная истинность.

Теорема 1. Исчисление высказываний непротиворечиво.
Доказательство.		Предположим, что для какой-либо формулы	доказуемы секвенции \| и
\| .	Рассмотрим какую-либо интерпретацию j исчисления высказываний в множестве P( X ). Так
как для аксиом S		утверждение j(S) истинно и применение правил вывода не нарушает истинности
секвенций, то для всех выводимых (т.е. доказуемых) секвенций S			утверждение j(S)	также истинно.
Значит,	j(\| )	j(\| ) И. Поэтому j( ) j( ) X . Но	j( ) X \ j( ),	следовательно,
X , что неверно. Таким образом, ИВ непротиворечиво. К
Рассмотрим теперь главную интерпретацию ИВ. Это будет отображение : F Seq {0, 1}, где

F – множество всех формул, а Seq – множество всех секвенций. Для атомарных формул

P Fатом


значения (P)	выберем произвольным образом. На			остальные формулы			отображение
распространим по обычным правилам:			(A) (A),	(A B) (A) (B),			где { , , }.
Отображение	: Fатом {0, 1}	можно	рассматривать	как	присвоение	значений		истинности
(“истина” или	“ложь”) пропозициональным переменным.				После того,	как такое		присвоение

произошло, можно говорить об истинности или ложности других формул. Истинность или ложность секвенций определяется следующим образом:

(1)	(A1	, ... , An \| B) 1 либо ( Ai ) 0	при некотором i, либо (B) 1;
(2)	(A1	, ... , An \| ) 1 (A1) ... (An ) 0;
(3)	(\| B) 1 (B) 1;
(4)	(\| ) 0.

Сформулируем теперь то же самое другими словами. Пусть

– формула ИВ, зависящая от

пропозициональных переменных (атомарных формул)

P ,

...

а t1

, ... , tn – набор из 0 и 1. Будем

говорить,

что

формула

истинна на наборе

если

( ) 1 при ( 1) t1

. . . ,

, ... , t

Пусть дана секвенция

A ,

...

| B

P ,

...

, P

– пропозициональные переменные,

( n ) tn

входящие

какие-либо

из формул

, ... ,

An , B.

секвенция

A1, ... , An | B истинна на наборе

t1, ... , tn

из 0 и 1, если на этом наборе либо хотя бы одно из

ложно, либо B истинно. Далее,

секвенция

A1, ... , An |

истинна на наборе

t1, ... , tn ,

если хотя бы одна из формул

на этом

наборе ложна. Секвенция | B истинна на данном наборе,

если на этом наборе

истинна.

Наконец, секвенция

| считается ложной на любом наборе.

Формула

(соотв.,

секвенция S )

называется

тождественно истинной, если она истинна на

любом наборе значений истинности пропозициональных переменных. Нетрудно видеть, что тождественная истинность формулы равносильна тождественной истинности секвенции | .

Лемма 1. Секвенция , A | B истинна на наборе t1, ... ,tn в том и только том случае, если секвенция| A B истинна на этом наборе.

Следствие. Секвенция , A | B тождественно истинна в том и только том случае, если секвенция| A B тождественно истинна.

Лемма 2. Секвенция , A | B доказуема в том и только том случае, если секвенция | A B доказуема.

Лемма 3. а) Если секвенция S доказуема, то она тождественно истинна; б) если формула доказуема, то она тождественно истинна.

Лемма 4. Если формулы и эквивалентны, то булевы функции T и T совпадают.

6. Теорема о непротиворечивости ИВ.

7. Теорема о функциональной полноте ИВ.

Теорема Пусть в исчислении высказываний бесконечно много атомарных формул. Тогда для любой

булевой

функции

f (t1, ... ,tn )

существует

формула

исчисления

высказываний, зависящая

от

атомарных формул

P ,

...

, P ,

такая, что T

f .

Доказательство. Если

f тождественно равна 0, то в качестве формулы

можно взять

Если же

f 0, то,

как

известно из курса дискретной математики,

f (t1, ... ,tn ) представима

совершенной дизъюнктивной нормальной форме:

f (t , ... ,t

)

... t

f (

,...,

) 1

Следовательно,

качестве

формулы

исчисления

высказываний

подойдёт

формула

...

f (

,...,

) 1

Из леммы 3 мы видели, что доказуемыми могут быть только тождественно истинные формулы или секвенции. Оказывается (и это мы докажем в следующей теореме), что верно и обратное: тождественно истинная формула или секвенция имеет формальное доказательство в ИВ. Этот факт мы будем называть полнотой исчисления высказываний.

8. Теорема о полноте ИВ.

Теорема (а) Формула исчисления высказываний доказуема тогда и только тогда, когда она тождественно истинна; (б) секвенция ИВ доказуема тогда и только тогда, когда она тождественно истинна.

Доказательство. Ввиду леммы 2 и следствия из леммы 1 доказуемости (соотв., тождественные


истинности)		следующих секвенций эквивалентны: A1, A2 , ... , An \| B;		A2 , ... , An \| A1 B;
A3 , ... , An	\| A2		(A1 B); . . . Таким образом можно “перебросить” все формулы, стоящие слева
от значка	\|,		в правую часть и получить секвенцию вида \| , для которой доказуемость (соотв.,

тождественная истинность) равносильна доказуемости (соотв,. Тождественной истинности) формулы

(по определению). Следовательно, нам надо доказывать только утверждение (а).

Ввиду леммы 3 нам следует доказать лишь достаточность: если формула

тождественно истинна,

то она доказуема. Пусть

– тождественно истинная формула. По теореме 2 предыдущего раздела

существует формула

такая, что

...

) (P

... P

)

...

( )

Положим

T1 P

... P

, .

. . ,

Tu P

... P

Так как

то по лемме 4

тождественно истинна. Но это означает, что формулы T1, ... , Tu				тождественно истинны. Рассмотрим
какую-нибудь одну из них, например, T1. Если все			i1, ... ,im различны, то T1			не будет тождественно
истинной, так как обращается в 0 на таком наборе, где Pi 1 1, ... , Pi					1 m . Значит, в T1 какая-
			1	m
либо пропозициональная переменная (скажем,			Pj ) встречается вместе			со	своим	отрицанием.
Следовательно, T1 можно преобразовать: T1 Pj			Pj C. Секвенция \| Pj				Pj	доказуема по
лемме 4 §1.1. По правилу вывода		№ 4 получим, что секвенция		\| Pj Pj		C доказуема. Значит,
формула T1 доказуема. Аналогично получим, что формулы T2 , ... , Tu					доказуемы. По правилу 1
T T ... T
получим, что формула 1	2	u доказуема. Следовательно, формула				, а значит, и формула

, доказуема.

9. Разрешимость классического исчисления высказываний.
Докажем теперь разрешимость исчисления высказываний. Под	разрешимостью	мы понимаем
существование алгоритма, который по данной формуле	(или секвенции	S ) определяет,

доказуема эта формула (или секвенция) или нет. Такой алгоритм действительно существует. Теорема 4. Исчисление высказываний разрешимо.

Доказательство. По теореме 3 проверка доказуемости формулы или секвенции сводится к

проверке её тождественной истинности. Алгоритм такой проверки очевиден: надо						придавать
пропозициональным	переменным	P ,	...	, P ,	входящим в рассматриваемые	формулы,
		1		n
всевозможные значения t1, ... , tn (из множества					{0, 1}) и определять по таблицам истинности
значение формулы	(соотв., секвенции	S ). Если			на любом наборе будем иметь ( ) 1		(соотв.,
(S) 1), то (соотв., S ) тождественно истинна,					а значит, доказуема, в противном случае		(или
S ) недоказуема.

Замечание. Допустим, формула тождественно истинна, в чём мы убедились, применив алгоритм,

изложенный в теореме 4. Тогда имеет доказательство. На самом деле можно построить
алгоритм, выписывающий это доказательство (т.е. доказательство секвенции	\| ). Алгоритм

достаточно громоздкий, так как включает в себя (в качестве “подпрограмм”) доказательства

утверждений \| A A, A A A, B A A B,	A (B C) (A B) C,	A A и многих
других: ведь мы приводим формулу к виду ( ),	доказываем формулу ( ),	затем продолжаем
доказательство, пока не будет доказана формула .

10. Понятие об интуиционизме и конструктивизме в логике.

Обнаружившиеся в математике к началу ХХ века противоречия (см. раздел 2.4: антиномии теории множеств) вызвали естественное желание разобраться в причинах этих противоречий и устранить их. Голландский математик Брауэр решил, что нельзя использовать в рассуждениях закон исключённого третьего, так как он предполагает, что любое суждение A либо истинно, либо ложно, а это, по мнению Брауэра, противоречит интуиции. Брауэр считал, что математика в своих абстрактных рассуждениях оторвалась от своих интуитивных корней и поэтому её выводы оказались неверными. Он считал, что следует очистить математику от неправильных (по его мнению) рассуждений и, в частности, убрать из математической практики закон исключённого третьего. Возражения против этого закона следующие: если мы утверждаем, что верно A, то надо предъявить

доказательство утверждения доказательство утверждения

A,A;

а если мы утверждаем, что

неверно, надо предъявить

говорить же о том, что обязательно либо A, либо A окажется

истинным, по мнению Брауэра и его последователей, неправомерно. Это направление в математике и математической логике получило название интуиционизма. После Брауэра интуиционистские идеи были подхвачены Гейтингом и некоторыми другими математиками. В нашей стране идеи, близкие к интуиционистским, проявились в появлении конструктивизма, в создании которого большую роль сыграл А.А.Марков. Конструктивисты пошли дальше интуиционистов и требовали ещё больших ограничений в использовании логических средств.

11. Интуиционистское ИВ. Недоказуемость закона исключѐнного третьего.

В интуиционистской логике двойное отрицание неэквивалентно отсутствию отрицания. Однако,

тройное отрицание эквивалентно однократному. Действительно, в доказательстве формулы

A A можно сразу вместо A взять A, и мы получим: A A. Возьмѐм в формуле

(A B) (B A) вместо B формулу A. Тогда получим: (A A) (A A).

Так

как

A A

уже доказано, то по modus ponens

получаем:

A A.

Докажем	теперь невыводимость формулы	A A	(закона		исключённого третьего)			в
						1		в
интуиционистской логике. Рассмотрим трёхзначное множество значений истинности T 0, 1,							,	в
						2
котором 0	интерпретируется как ложь (Л), 1	– как истина (И),		1	– как неопределённость (Н).
котором 0	интерпретируется как ложь (Л), 1	– как истина (И),		2	– как неопределённость (Н).
				2

Определим конъюнкцию и дизъюнкцию обычным способом:

x y min( x, y),

x y max( x, y),

отрицание:

И Л,

Л И,

Н Л.

Импликация определяется так:

1, если	x y,
x y	x y.
0, если	x y.

Можно проверить, что аксиомы гильбертова исчисления (1)-(10) являются тождественно истинными

в трёхзначной логике, т.е. при любом присвоении буквам A, B,C	значений из множества T
формула оказывается равной 1. Кроме того, правило modus ponens	сохраняет тождественную

истинность. Значит, все выводимые в ИИВ формулы тождественно истинны (и трёхзначной логике).

Однако, формула	A A	тождественно истинной не является, так как	при	A Н
A A H H H И. Значит, формула A A невыводима в ИИВ.
Замечание. Существуют тождественно истинные, но невыводимые в ИИВ формулы.			Например,

A A,

(A B) (A B).

12. Эквивалентные множества и их свойства. Теорема Шрѐдера – Бернштейна.


Определение. Множества	A	и B	называются эквивалентными (или
существует взаимно однозначное отображение множества				A на множество
Для эквивалентных множеств мы будем писать A ~ B или				\| A \| \| B \| .

равномощными), если

Свойства эквивалентности множеств

1)	A ~ A;
2)	если A ~ B, то B ~ A;
3)	если A ~ B, а	B ~ C,	то

A ~ C.


Доказательство. 1) Тождественное отображение A A,				a a,	является взаимно однозначным;
2) если f : A B взаимно однозначно, то f	1	: B A –		тоже;	3) если	f : A B и g : B C –

взаимно однозначные отображения, то gf : A C			( ((gf )(x) g( f (x)))			– взаимно однозначное

отображение.

Замечание. Нельзя назвать “эквивалентность множеств” отношением эквивалентности, потому что непонятно, на каком множестве рассматривается это отношение (такого понятия, как “множество всех множеств”, не существует).

Определение.	Мощностью множества		A называется совокупность всех множеств, эквивалентных
множеству A.
Мощность множества A обозначается \|			A \| .
Теперь нам надо научиться сравнивать множества по мощности.
Определение.	Говорят,	что мощность множества		A	не превосходит	мощности множества B
(записываем:	\| A \| \| B \|),	если существует вложение множества A в множество					B.	Если существует
вложение A в	B, но не существует взаимно однозначного отображения					A на	B,	то мы говорим,


что мощность множества A		строго меньше мощности множества B, и пишем \| A \| \| B \| .
Очевидны следующие свойства:
1)	A ~ B, \| B \| \| C \| \| A \| \| C \|;
2)	\| A \| \| B \|, \| B \| \| C \| \| A \| \| C \| .
Гораздо менее очевидным		является следующее свойство, называемое теоремой Шрёдера –

Бернштейна: | A | | B |,

| B | | A | A ~ B.

Теорема 1 (теорема Шрёдера – Бернштейна). Если существуют вложения f : A B

существует взаимно однозначное отображение h : A B.
Доказательство. Положим A A, B B. Пусть					f ( A) B	,	g(B) A ,		f ( A )
			0	0	1			1	1
и	вообще		f ( Ai ) Bi 1,		g(Bi ) Ai 1.			Мы

A (A \ A1) (A1		\ A2 ) (A2	\ A3 ) (A3	\ A4 ) ... C,	где			C An ,
									n 1

B (B \ B1) (B1		\ B2 ) (B2	\ B3 ) (B3	\ B4 ) ... D,	где D Bn ,			(2)

n 1

и g : B A, то

B	,	g(B ) A
2		1	2

имеем:

(1)

Очевидно, g

взаимно однозначно отображает B	на A , поэтому существует	g 1	: A B, также взаимно
	1		1
однозначное. Проверим, что f взаимно однозначно отображает C на			D. Действительно, пусть


f (c) b. Так как	c An , то		f (c) Bn
	n 1		n 1
D Bn и f ( An 1) Bn ,		то	d f (x)	для
		Следовательно,		x
f (x) f (x ) x	x .	Следовательно,		x

D. Следовательно,		f (C) D.		Пусть d D.	Так как
некоторого	x An 1.		Так как	f – вложение, то

An 1 C.	Таким	образом,		f : C D	взаимно

n 2

однозначно. Кроме того, f взаимно однозначно отображает				A \ A1 на	B1 \ B2 ,			A2 \ A3		на
B \ B	4	и т.д., а g 1 взаимно однозначно отображает A \ A		на B \ B ,	A \ A		на	B	\ B	и
3	4	1	2	1	3	4		2	3

т.д. Пользуясь соотношениями (1) и (2), нетрудно убедиться в том, что отображение

h : A B,

		f (a),			если	a A	\	A	,
						2k		2k 1
			1
определённое правилом	h(a) g		1	(a),	если	a A2k 1		\ A2k ,
определённое правилом	h(a) g			(a),	если	a A2k 1		\ A2k ,
		f (a),			если	a C,
		f (a),			если	a C,

является взаимно однозначным. Теорема доказана.
Эта теорема, наряду с теоретическим,					имеет большое практическое значение. Она позволяет
доказывать эквивалентность множеств					A и	B, не	строя		взаимно однозначного отображения

A B,

а построив лишь вложения

A B

B A.

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ЭКЗАМЕН

#
23.01.20152.83 Mб130otveti_mlta_ed.doc
#
23.01.20151.58 Mб142otveti_mlta_ed.pdf
#
23.01.201533.28 Кб87Вопросы к экзамену 2011.doc
#
23.01.20151.18 Кб80Вопросы Кожы.txt
#
23.01.20151.01 Mб75МЛТА - Вопросы к экзамену 2009.png
#
23.01.20152.43 Mб187МЛТА - Ответы к экзамену 2009.docx
#
23.01.20152.42 Mб252МЛТА - Ответы к экзамену 2011.docx