13. Несчестность множества действительных чисел. Свойства множеств мощности континуума.

Определение. Множество называетсянесчётным, если оно бесконечно и неэквивалентно счётному множеству (т.е. его мощность больше ).

Теорема 2 (Кантор). Множество несчётно.

Доказательство. Каждое число имеет десятичную записьгдеПри этом некоторые числа могут быть записаны двумя способами, например,Из этих двух записей выберем первую, т.е. запретим ситуацию, когда в десятичной записи числа, начиная с некоторого момента, идут одни девятки. Исключением сделаем лишь число

Предположим, что множество счётно. Тогда

Представим в виде десятичной дроби:

Теперь построим число следующим образом. Пустьлюбая цифра, отличная оти 9,любая цифра, отличная оти 9, и вообще,ПоложимТогдапри всехТак как, мы получили противоречие с равенствомТеорема доказана.

Замечание. Приведённый здесь метод доказательства называется диагональным методом Кантора.

Определение. Мощность множества чисел отрезка называетсямощностью континуума и обозначается с.

Очевидно, с

Свойства множеств мощности континуума

1) с + с = с; 2) с  с = с; 3) с +  = с   = с.

Доказательство. Докажем вначале свойство 2), т.е. тот факт, что “квадрат содержит столько же точек, сколько отрезок”. Очевидно, с. Поэтому возьмём Надо доказать, чтос. Ввиду теоремы Шрёдера – Бернштейна нам достаточно вложить ви вложитьвВложениевдля любого непустого множестваосуществляется очень просто:где– фиксированный элемент изТеперь вложим множествов множествоПустьТогдагдеЗапишемив виде бесконечных десятичных дробей:(как обычно, мы запрещаем дроби вида). Рассмотрим отображениеНетрудно проверить, что оно является вложением множествав

Свойство 1) можно доказать, используя 2) и теорему Шрёдера – Бернштейна. А именно, ясно, что множество мощности с вкладывается в множество мощности с + с. Далее, с + с – это мощность объединения двух отрезков. Оно вкладывается в квадрат, а квадрат вкладывается в отрезок.

Свойство 3) доказывается аналогичными рассуждениями. Доказательство предоставляется читателю.

14. Связь между счетными множествами и множествами мощности континуума.

Связь между счётными множествами и множествами мощности континуума даёт следующая теорема.

Теорема.

Доказательство. Теорему можно переформулировать так: множество всех подмножеств счётного множества имеет мощность континуума. Ввиду теоремы Шрёдера – Бернштейна нам достаточно построить вложения иКаждый элементможно задать последовательностью из 0 и 1; а именно,гдеВложениеимеет следующий вид::

Теперь вложим в. Элементы изпредставим в виде бесконечных двоичных дробей, запретив для однозначности записи видадля всех чисел, кромеВложениевосуществим так:гдесостоит из техN, у которых

15. Теорема Кантора о мощности множества всех подмножеств данного множества.

Теорема 6 (теорема Кантора). Для любого множества

Доказательство. Вложение осуществляется просто:Нам осталось доказать, что не существует взаимно однозначного соответствия между множествамииПредположим, что существует взаимно однозначное соответствиет.е. каждому элементуставится в соответствие подмножествопричём каждое подмножествопредставимо в видепри некоторомПо условиюпри некоторомзначит,Далее,при некоторомв этом случаеПостроим подмножествомножестваполагаяТак кактопри некоторомВыясним, верно ли соотношениеИмеем:

а) если топо определению множестваполучаем:

б) если топо определению множестваполучаем:что невозможно. Мы получили противоречие. Теорема доказана.

Из теоремы Кантора следует, что среди множеств нет наибольшего по мощности, так как, каково бы ни было множество множествоимеет ещё большую мощность. В частности,< ...