-
Ординальные числа и их свойства..
Определение.
Порядковым
типом
вполне упорядоченного множества
называется совокупность всех вполне
упорядоченных множеств, изоморфных
множеству
Порядковый
тип вполне упорядоченного множества
называется ординальным
(или порядковым)
числом
или просто ординалом.
Ординальные числа, соответствующие
конечным вполне упорядоченным множествам,
обозначаются 0, 1, 2, ... (их можно отождествить
с натуральными числами). Например, 3 –
это порядковый тип, соответствующий
трёхэлементной цепи
(очевидно, все трёхэлементные цепи
изоморфны между собой). Наименьшее
бесконечное ординальное число – это
порядковый тип множества N
натуральных чисел. Оно обозначается
символом
Введём
отношение порядка среди ординалов.
Пусть
– ординалы, а
– соответствующие им вполне упорядоченные
множества. В предыдущем разделе было
доказано, что либо множество
изоморфно начальному отрезку множества
либо наоборот. Если множество
изоморфно начальному отрезку множества
то считаем
Докажем следующие свойства ординалов:
(1)
(2)
(3)
Доказательство.
Свойство (1) очевидно. Пусть теперь
и
Тогда существуют изотонные
(т.е. сохраняющие порядок) вложения
и
такие, что
– начальный отрезок в
а
– начальный отрезок в
Произведение
является изотонным вложением
в
а
– начальный отрезок множества
Значит,
т.е. выполнено (2). Осталось доказать
свойство (3). Пусть
и
– изотонные вложения, причём
– начальный отрезок в
а
– начальный отрезок в
Произведение
является изотонным вложением. По
следствию из леммы предыдущего раздела
получаем, что
– тождественное отображение. Аналогично
доказывается, что
– тождественное отображение. Значит,
и
– изоморфизм, поэтому
-
Кардинальные числа и их свойства.
Определение. Кардинальным числом (или кардиналом) называется наименьший ординал заданной мощности.
Вообще говоря,
кардинальное число можно отождествить
с мощностью, которую оно представляет.
Действительно, взаимно однозначное
соответствие между кардинальными
числами и мощностями очевидно. В ряде
учебников мощность множества определяется
как наименьший ординал, эквивалентный
данному множеству. Мы будем в дальнейшем
отождествлять кардинальное число с
соответствующей мощностью. В частности,
Некоторые из ординальных
чисел являются мощностями, некоторые
– нет. Например, все натуральные числа
0, 1, 2, ... – мощности,
– мощность. Однако,
не являются мощностями. Нетрудно видеть,
что всякая бесконечная мощность
является предельным ординалом.
Действительно, пусть
– бесконечный непредельный ординал.
Тогда
для некоторого
Так как
бесконечен, то
Значит,
не может быть мощностью.
Пусть
и
– ординальные числа. Определим с помощью
трансфинитной индукции число
А именно, положим
для предельного ординала
Таким образом мы можем построить ординалы
и т.д.
Теорема 5. В любой совокупности каких-либо множеств есть множество, наименьшее по мощности.
Доказательство.
Пусть
– совокупность множеств
и
– их мощности. Тогда по теореме 1 среди
есть наименьшее. Соответствующее
множество
будет иметь наименьшую мощность.
К
Ранее мы видели, что
Оказывается, что аналогичное равенство
справедливо для любой бесконечной
мощности.
(СН) Континуум-гипотеза:
не существует мощности
удовлетворяющей условию
(GCH)
Обобщённая континуум-гипотеза:
каково бы ни было ординальное число
не существует мощности
удовлетворяющей неравенству
