16. Теорема Кантора о мощности множества всех подмножеств данного множества.

Мно-во всех отображений множества в двухэлементное множество обозначим через

Замечание. Мы будем в дальнейшем отождествлять множество с множеством всех подмножеств множества

Теорема 6 (теорема Кантора). Для любого множества

Доказательство. Вложение осуществляется просто: Нам осталось доказать, что не существует взаимно однозначного соответствия между множествами и Предположим, что существует взаимно однозначное соответствие т.е. каждому элементу ставится в соответствие подмножество причём каждое подмножество представимо в виде при некотором По условию при некотором значит, Далее, при некотором в этом случае Построим подмножество множества полагая Так как то при некотором Выясним, верно ли соотношение Имеем:

а) если то по определению множества получаем:

б) если то по определению множества получаем: что невозможно. Мы получили противоречие. Теорема доказана. К

Из теоремы Кантора следует, что среди множеств нет наибольшего по мощности, так как, каково бы ни было множество множество имеет ещё большую мощность. В частности, < ...

17. Эквивалентность множеств и

Теорема 3. Для любых множеств имеет место эквивалентность

Доказательство. Пусть Тогда Для каждого пусть определено правилом По определению Значит, мы имеем отображение Ясно, что Положим Мы получили отображение

Докажем, что Ф является вложением. Действительно, пусть Тогда при некоторых Отсюда Значит, а потому Таким образом, т.е. – вложение.

Осталось доказать, что является наложением, т.е. что для каждого существует такое что Имеем: Значит, т.е. Таким образом, Положим Тогда Осталось проверить, что Мы имеем: Ввиду произвольности элемента получаем: По определению Значит, Ввиду произвольности элемента получаем: Это и требовалось доказать.

18. Вполне упорядоченные множества и их свойства.

Определение. Множество называется вполне упорядоченным, если оно линейно упорядочено и любое непустое его подмножество имеет наименьший элемент.

Утверждение. Линейно упорядоченное множество является вполне упорядоченным, если и только если оно не содержит бесконечных убывающих последовательностей элементов

Доказательство. Необходимость. Пусть вполне упорядочено и в нём есть убывающая цепь Тогда множество не имеет наименьшего элемента – противоречие.

Достаточность. Пусть – линейно упорядоченное множество без бесконечных убывающих цепей элементов. Рассмотрим какое-нибудь непустое подмножество Пусть – какой-нибудь элемент из Если он не наименьший, то существует такое, что Если не наименьший, то существует такое, что И т.д. Если не имеет наименьшего элемента, то существует бесконечная убывающая цепь , что противоречит условию.

Свойства вполне упорядоченных множеств

1. любое подмножество вполне упорядоченного множества вполне упорядочено;

2. если и – два непересекающихся вполне упорядоченных множества, то порядок на множестве определённый следующим образом:

превращает во вполне упорядоченное множество.

19. Аксиома выбора. Теорема Цермело.

Аксиома выбора. Если – непустое множество, то в каждом его непустом подмножестве можно выбрать по одному элементу. Иными словами, существует функция выбора такая, что при любом непустом

Определение. Цепью называется линейно упорядоченное множество.

Определение. Пусть – частично упорядоченное множество и Г – его подмножество, являющееся цепью. Мажорантой (или верхней границей) цепи Г называется любой элемент такой, что для всех

Обозначим через множество всех мажорант цепи Г. Введём ещё одно обозначение. Пусть Г – цепь и Положим

Наша дальнейшая цель – сформулировать два новых утверждения – лемму Цорна и теорему Цермело – и доказать их эквивалентность аксиоме выбора.

1. Аксиома выбора (формулировку см. В начале раздела).

2. Лемма Цорна. Пусть – частично упорядоченное множество, в котором каждая цепь имеет мажоранту. Тогда имеет хотя бы один максимальный элемент.

3. Теорема Цермело. На всяком множестве можно ввести отношение порядка, превращающее его во вполне упорядоченное множество.

Предположим, что справедлива теорема Цермело, и требуется доказать аксиому выбора. Пусть – произвольное множество. По теореме Цермело существует порядок на превращающий его во вполне упорядоченное множество. Для каждого непустого подмножества положим Тогда будет являться функцией выбора

20. Лемма Цорна.

С помощью аксиомы выбора нам надо доказать лемму Цорна. Пусть – частично упорядоченное множество, в котором каждая цепь имеет мажоранту. Обозначим через функцию выбора Предположим, что множество не имеет максимального элемента, и приведём это предположение к противоречию. Так как в нет максимального элемента, то для любой цепи

Назовём подмножество множества отмеченным, если выполняются условия:

(а) вполне упорядочено отношением порядка, перенесённым на из

(б) для любого имеет место равенство

Отмеченные подмножества существуют. Например, Примером непустого отмеченного подмножества может служить где Пусть и – два отмеченных подмножества, Тогда поэтому Итак, минимальные элементы всех отмеченных подмножеств совпадают друг с другом (и совпадают с

Докажем, что для любых отмеченных подмножеств и либо либо По предыдущей теореме одно из этих множеств изоморфно начальному отрезку другого. Пусть, например, изоморфно начальному отрезку множества и – изоморфизм на Так как то Докажем, что для всех Пусть это не так и – минимальный элемент такой, что Ввиду (б) Ввиду минимальности элемента отображение тождественно на Значит, Докажем, что между элементами из и элементом в цепи элементов нет. Действительно, пусть для всех Так как то Значит, при некотором Так как то откуда Значит, что противоречит выбору элемента Итак, между и в элементов нет. Это означает, что Так как отмеченное, то Это влечёт, что – противоречие. Следовательно,

Пусть – объединение всех отмеченных подмножеств. Ранее было показано, что для любых двух отмеченных подмножеств одно из них содержится в другом в качестве начального отрезка. Отсюда следует, что тоже является отмеченным подмножеством. Очевидно, – наибольшее отмеченное подмножество. По условию Следовательно, существует элемент Цепь тоже является отмеченным подмножеством, поэтому Но это противоречит тому, что Утверждение доказано.

Предположим, что справедлива лемма Цорна. Докажем теорему Цермело. Пусть – множество и Х – множество пар где – подмножество множества а – отношение порядка на такое, что вполне упорядочено этим отношением. Введём на множестве отношение порядка, полагая если (т.е. на множестве порядки и совпадают) и является начальным отрезком в Пусть – цепь в (здесь – какое-либо множество индексов). Очевидно, – мажоранта цепи Итак, каждая цепь в Г имеет мажоранту, Отсюда следует по лемме Цорна, что имеет максимальный элемент. Пусть это будет Докажем, что Пусть Тогда существует элемент Положим и продолжим на множество полагая и для всех (здесь – продолжение порядка Получим: что противоречит максимальности элемента Итак, значит, вполне упорядочено отношением