Свойства счётных множеств:

1. объединение двух счётных множеств счётно;

2. прямое произведение двух счётных множеств счётно;

3. объединение счётного числа счётных множеств счётно;

4. всякое бесконечное множество имеет счётное подмножество.

Доказательство. Докажем вначале утверждение 2). Пусть где счётные множества. Элементы множества можно расположить в виде таблицы:

			. . .
			. . .
			. . .
. . .	. . .	. . .	. . .

Пересчёт элементов множества т.е. установление взаимно однозначного соответствия между элементами множеств и N может быть осуществлён, например, так:

1	2	4	7	11	16 . . .
3	5	8	12	17	23 . . .
6	9	13	18	24	31 . . .
10	14	19	25	32	40 . . .
15	20	25	33	41	50 . . .
21 . . .	27 . . .	34 . . .	42 . . .	51 . . .	. . . . . . . . .

Номер, который будет присвоен паре равен

Утверждение 3) следует из 2) и теоремы Шрёдера – Бернштейна. Поясним это. Пусть где каждое счётно. Так как N вкладывается в то N вкладывается в Осталось построить вложение N. По условию счётные множества, поэтому значит, элемент из имеет вид Не исключается, что при каких-нибудь Для каждого выберем одно какое-нибудь представление в виде Отображение определяет вложение в NN, а по свойству 2) | NN | = | N |. Значит, N |.

Утверждение 1) следует из 3), так как

Докажем утверждение 4). Пусть бесконечное множество. Выберем элемент Так как бесконечно, то Значит, существует элемент Таким же образом найдём и т.д. Мы получили счётное подмножество множества К

Мощность множества N (а значит, любого счётного множества) обозначается  (читается: “алеф-нуль”). Так как всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество, то  – самая маленькая из всех бесконечных мощностей.

Если и – два непересекающихся счётных множества, то по свойству 1) . Это можно записать так: +  = . Аналогично этому свойство 2) можно записать так: 