11. Интуиционистское ив. Недоказуемость закона исключённого третьего.

В интуиционистской логике двойное отрицание неэквивалентно отсутствию отрицания. Однако, тройное отрицание эквивалентно однократному. Действительно, в доказательстве формулы можно сразу вместо взять и мы получим: Возьмём в формуле вместо формулу Тогда получим: Так как уже доказано, то по modus ponens получаем:

Докажем теперь невыводимость формулы (закона исключённого третьего) в интуиционистской логике. Рассмотрим трёхзначное множество значений истинности в котором 0 интерпретируется как ложь (Л), 1 – как истина (И), – как неопределённость (Н). Определим конъюнкцию и дизъюнкцию обычным способом: отрицание: Импликация определяется так:

Можно проверить, что аксиомы гильбертова исчисления (1)-(10) являются тождественно истинными в трёхзначной логике, т.е. при любом присвоении буквам значений из множества формула оказывается равной 1. Кроме того, правило modus ponens сохраняет тождественную истинность. Значит, все выводимые в ИИВ формулы тождественно истинны (и трёхзначной логике). Однако, формула тождественно истинной не является, так как при Н Значит, формула невыводима в ИИВ.

Замечание. Существуют тождественно истинные, но невыводимые в ИИВ формулы. Например,

12. Эквивалентные множества и их свойства. Теорема Шрёдера – Бернштейна.

Определение. Множества и называются эквивалентными (или равномощными), если существует взаимно однозначное отображение множества на множество

Для эквивалентных множеств мы будем писать или

Свойства эквивалентности множеств

1. 

2. если то

3. если а то

Доказательство. 1) Тождественное отображение является взаимно однозначным; 2) если взаимно однозначно, то – тоже; 3) если и – взаимно однозначные отображения, то ( – взаимно однозначное отображение.

Замечание. Нельзя назвать “эквивалентность множеств” отношением эквивалентности, потому что непонятно, на каком множестве рассматривается это отношение (такого понятия, как “множество всех множеств”, не существует).

Определение. Мощностью множества называется совокупность всех множеств, эквивалентных множеству

Мощность множества обозначается

Теперь нам надо научиться сравнивать множества по мощности.

Определение. Говорят, что мощность множества не превосходит мощности множества (записываем: если существует вложение множества в множество Если существует вложение в но не существует взаимно однозначного отображения на то мы говорим, что мощность множества строго меньше мощности множества и пишем

Очевидны следующие свойства:

1. 

2. 

Гораздо менее очевидным является следующее свойство, называемое теоремой Шрёдера – Бернштейна:

Теорема 1 (теорема Шрёдера – Бернштейна). Если существуют вложения и то существует взаимно однозначное отображение

Доказательство. Положим Пусть и вообще Мы имеем: где (1) где (2) Очевидно, взаимно однозначно отображает на поэтому существует также взаимно однозначное. Проверим, что взаимно однозначно отображает на Действительно, пусть Так как то Следовательно, Пусть Так как и то для некоторого Так как – вложение, то Следовательно, Таким образом, взаимно однозначно. Кроме того, взаимно однозначно отображает на на и т.д., а взаимно однозначно отображает на на и т.д. Пользуясь соотношениями (1) и (2), нетрудно убедиться в том, что отображение определённое правилом

является взаимно однозначным. Теорема доказана.

Эта теорема, наряду с теоретическим, имеет большое практическое значение. Она позволяет доказывать эквивалентность множеств и не строя взаимно однозначного отображения а построив лишь вложения и

13. Счётные множества и их свойства.

Определение. Множество называется счётным, если N.

Например, счётным является множество 2N чётных натуральных чисел. Действительно, отображение задаёт взаимно однозначное соответствие между множествами N и 2N.