8. Теорема о полноте ив.

Теорема (а) Формула исчисления высказываний доказуема тогда и только тогда, когда она тождественно истинна;

(б) секвенция ИВ доказуема тогда и только тогда, когда она тождественно истинна.

Доказательство. Ввиду леммы 2 и следствия из леммы 1 доказуемости (соотв., тождественные истинности) следующих секвенций эквивалентны: . . . Таким образом можно “перебросить” все формулы, стоящие слева от значка в правую часть и получить секвенцию вида для которой доказуемость (соотв., тождественная истинность) равносильна доказуемости (соотв,. Тождественной истинности) формулы (по определению). Следовательно, нам надо доказывать только утверждение (а).

Ввиду леммы 3 нам следует доказать лишь достаточность: если формула тождественно истинна, то она доказуема. Пусть – тождественно истинная формула. По теореме 2 предыдущего раздела существует формула такая, что

Положим . . . , Так как то по лемме 4 тождественно истинна. Но это означает, что формулы тождественно истинны. Рассмотрим какую-нибудь одну из них, например, Если все различны, то не будет тождественно истинной, так как обращается в 0 на таком наборе, где Значит, в какая-либо пропозициональная переменная (скажем, встречается вместе со своим отрицанием. Следовательно, можно преобразовать: Секвенция доказуема по лемме 4 §1.1. По правилу вывода № 4 получим, что секвенция доказуема. Значит, формула доказуема. Аналогично получим, что формулы доказуемы. По правилу 1 получим, что формула доказуема. Следовательно, формула а значит, и формула доказуема.

9. Разрешимость классического исчисления высказываний.

Докажем теперь разрешимость исчисления высказываний. Под разрешимостью мы понимаем существование алгоритма, который по данной формуле (или секвенции определяет, доказуема эта формула (или секвенция) или нет. Такой алгоритм действительно существует.

Теорема 4. Исчисление высказываний разрешимо.

Доказательство. По теореме 3 проверка доказуемости формулы или секвенции сводится к проверке её тождественной истинности. Алгоритм такой проверки очевиден: надо придавать пропозициональным переменным входящим в рассматриваемые формулы, всевозможные значения (из множества и определять по таблицам истинности значение формулы (соотв., секвенции Если на любом наборе будем иметь (соотв., то (соотв., тождественно истинна, а значит, доказуема, в противном случае (или недоказуема.

Замечание. Допустим, формула тождественно истинна, в чём мы убедились, применив алгоритм, изложенный в теореме 4. Тогда имеет доказательство. На самом деле можно построить алгоритм, выписывающий это доказательство (т.е. доказательство секвенции Алгоритм достаточно громоздкий, так как включает в себя (в качестве “подпрограмм”) доказательства утверждений и многих других: ведь мы приводим формулу к виду доказываем формулу затем продолжаем доказательство, пока не будет доказана формула

10. Понятие об интуиционизме и конструктивизме в логике.

Обнаружившиеся в математике к началу ХХ века противоречия (см. раздел 2.4: антиномии теории множеств) вызвали естественное желание разобраться в причинах этих противоречий и устранить их. Голландский математик Брауэр решил, что нельзя использовать в рассуждениях закон исключённого третьего, так как он предполагает, что любое суждение либо истинно, либо ложно, а это, по мнению Брауэра, противоречит интуиции. Брауэр считал, что математика в своих абстрактных рассуждениях оторвалась от своих интуитивных корней и поэтому её выводы оказались неверными. Он считал, что следует очистить математику от неправильных (по его мнению) рассуждений и, в частности, убрать из математической практики закон исключённого третьего. Возражения против этого закона следующие: если мы утверждаем, что верно то надо предъявить доказательство утверждения а если мы утверждаем, что неверно, надо предъявить доказательство утверждения говорить же о том, что обязательно либо либо окажется истинным, по мнению Брауэра и его последователей, неправомерно. Это направление в математике и математической логике получило название интуиционизма. После Брауэра интуиционистские идеи были подхвачены Гейтингом и некоторыми другими математиками. В нашей стране идеи, близкие к интуиционистским, проявились в появлении конструктивизма, в создании которого большую роль сыграл А.А.Марков. Конструктивисты пошли дальше интуиционистов и требовали ещё больших ограничений в использовании логических средств.