Простейшие функции о s I

Оператор суперпозиции. Пусть даны функция от переменных и функций от переменных.. Суперпозицией функций называется функция

Мы говорим, что функция получается применением оператора суперпозиции S к функциям и пишем S

Оператор примитивной рекурсии. Пусть даны функции и Построим функцию Пусть зафиксированы значения Тогда полагаем:

Эти равенства определяют функцию однозначно. Функция называется функцией, полученной с помощью оператора R примитивной рекурсии. Используется запись R

Функции, которые могут быть получены из простейших о s I применением конечного числа раз операторов суперпозиции и примитивной рекурсии, называются примитивно рекурсивными.

35. Оператор минимизации. Рекурсивные функции.

Оператор минимизации. Пусть дана функция Зафиксируем какие-либо значения первых переменных и будем вычислять и т.д. Если наименьшее натуральное число, для которого (т.е. значения все существуют и не равны то полагаем Таким образом,

Если такого нет, то считаем, что не определено. Итак, возможны три случая:

1. существуют и не равны а

2. существуют и не равны а не существует;

3. существуют при всех N и отличны от

Если имеет место 1-й случай, то а если 2-й или 3-й, то не определено. Про функцию полученную таким образом, говорят, что она получена из применением оператора минимизации М. Мы пишем М

Оператор минимизации – это очевидное обобщение оператора взятия обратной функции. Обобщение довольно глубокое, так как от функции не требуется, чтобы она была взаимно однозначной (по переменной

Функции, которые могут быть получены из простейших о s I применением конечного числа раз операторов суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации, называются рекурсивными.

36. Разрешимые и перечислимые множества.

Множество натуральных чисел называется разрешимым, если существует алгоритм, который по каждому натуральному числу определяет, принадлежит множеству или не принадлежит. Другими словами, множество разрешимо в том и только том случае, если его характеристическая функция вычислима.

Понятно, что если множества и разрешимы, то множества также разрешимы. Любое конечное множество является разрешимым. Неразрешимые множества также существуют, так как разрешимые подмножества образуют счётное множество, а все подмножества множества натуральных чисел образуют множество мощности континуума.

Множество называется перечислимым, если его полухарактеристическая функция

Является вычислимой.

Теорема 1. Пусть – подмножество множества натуральных чисел. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1) множество перечислимо;

(2) есть область определения некоторой вычислимой функции;

(3) есть множество значений некоторой вычислимой функции.

Доказательство. очевидно.

Пусть – вычислимая функция с областью определения Тогда существует машина Тьюринга которая для каждого вычисляет и останавливается, а при работает бесконечно долго. Пусть – машина, которая запоминает значение аргумента и после завершения работы машины (в случае завершения её работы) стирает и записывает вместо него Тогда множество значений функции, вычисляемой машиной будет совпадать с множеством

Пусть – множество значений функции вычисляемой машиной Тьюринга Обозначим через машину, которая вначале работает, как т.е. вычисляет а затем заменяет на 0. Очевидно, вычисляет