31. Теорема Гёделя – Мальцева и следствие из неё.

Предложением мы будем называть замкнутую формулу, т.е. формулу, не содержащую свободных переменных. Теорией будем называть совокупность предложений (конечную или бесконечную) одной сигнатуры. Будем говорить, что теория имеет модель если все предложения теории истинны на Далее, если – теория, а Ф – замкнутая формула УИП, то мы пишем если Ф истинна на любой модели теории т.е. Ф истинна на любой модели, на которой истинны все формулы из

Теорема 5 (теорема компактности Гёделя – Мальцева). Если каждое конечное подмножество имеет модель, то теория имеет модель.

Доказательство. Пусть – множество всех конечных подмножеств множества и – модель для Для формулы пусть истинна на

Проверим, что – центрированная система подмножеств множества Действительно, рассмотрим конечное подмножество Тогда Значит, формулы истинны на модели следовательно, Таким образом, Мы показали, что – центрированная система. По теореме 1 эту систему можно вложить в некоторый ультрафильтр D. Рассмотрим ультрапроизведение Пусть Тогда Ф истинна на всех где Но значит, по теореме Лося истинна на ультрапроизведении Таким образом, G является моделью для К

Для доказательства неаксиоматизируемости некоторых классов алгебраических систем часто используется следствие из теоремы компактности, которое мы сейчас приведём.

Следствие. Пусть – множество предложений логики первого порядка и Тогда существует конечное подмножество такое, что

Доказательство. Предположим противное, т.е. что для любого конечного Тогда для каждого конечного существует модель, для которой предложение истинно. По теореме компактности существует модель, в которой все предложения из T и предложение истинны. Но тогда вопреки условию.

32. Теорема Лёвенгейма-Скулема о повышении мощности

Теорема Пусть – множество замкнутых формул сигнатуры содержащей отношение равенства, и – бесконечная мощность. Если существует бесконечная нормальная модель в которой все предложения из истинны, то существует нормальная модель мощности с этим свойством.

Доказательство. Добавим к сигнатуре множество констант (символов нульарных операций) где – множество мощности а к множеству добавим аксиомы (при Полученную совокупность формул обозначим через Всякое конечное подмножество множества имеет модель: действительно, моделью может служить – все предложения из на ней выполнены, а конечное число условий . . . , нетрудно соблюсти, присвоив константам с разными индексами различные значения из Так как всякое конечное подмножество множества имеет модель, то само имеет модель. Обозначим эту модель через Элементы, которым в модели присвоены значения констант различны ввиду наличия аксиом Следовательно,

33. Машины Тьюринга и вычислимые функции. Понятие алгоритма. Тезис Чёрча.

Машиной Тьюринга называется частичное отображение

Здесь обозначает “лево”, “право”. Тот факт, что отображение частичное, означает, что может быть определено не для всех наборов аргументов. Машина Тьюринга работает с бесконечной в обе стороны лентой, разбитой на ячейки, в каждой из которых написан один из символов 0, 1.

Тезис Чёрча. Понятие алгоритма, или вычислимости некоторым механическим устройством, совпадает с понятием вычислимости на машинах Тьюринга (а значит, с понятием рекурсивной функции).

34. Операторы суперпозиции и примитивной рекурсии. Примитивно рекурсивные функции.