-
Ультрафильтр. Характеризация ультрафильтров.
Фильтр
U на множестве
называется ультрафильтром,
если U максимальный по включению, т.е.
для любого фильтра F U
F
F
U.
Теорема 2. Всякий фильтр вкладывается в ультрафильтр.
Доказательство.
Пусть D – фильтр на множестве
Обозначим через
частично упорядоченное по включению
множество всех фильтров F
D
на множестве
Докажем, что в
каждая цепь имеет верхнюю границу.
Действительно, пусть
– цепь фильтров. Положим
Докажем, что
– тоже фильтр. Так как
ни при каком
то
Далее, пусть
и
Тогда
при некотором
Так как
– фильтр, то
Следовательно,
Наконец, пусть
Тогда
при некоторых
Так как
– цепь, то либо
либо
Пусть, например,
Тогда
Так как
– фильтр, то
Отсюда получаем:
Итак,
– фильтр, который, очевидно, является
верхней границей цепи
По лемме Цорна в множестве
есть хотя бы один максимальный элемент
U. Это и будет ультрафильтр, содержащий
фильтр F.
Теорема
3. Фильтр U
на множестве
является ультрафильтром в том и только
том случае, если для любого
либо
U,
либо
U.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть U – ультрафильтр и
таково, что
U.
Докажем, что
U.
Предположим, что
U.
Рассмотрим следующую совокупность
подмножеств множества
S
U}.
Докажем, что S – центрированная система.
Пусть
... ,
S
(при этом
U).
Так как U – фильтр, то
U.
Нам надо доказать, что
Предположим, что
Тогда
Следовательно,
U,
а это противоречит предположению. Итак,
S – центрированная система. По теореме
1 существует фильтр F такой, что S
F.
Пусть
U.
Тогда
S,
поэтому
F,
а значит,
F.
Итак,
Кроме того,
а это означает, что U не максимальный.
Мы получили противоречие.
Достаточность.
Пусть F – фильтр со свойством:
F
или
F.
Докажем, что F – ультрафильтр. Пусть
– такой фильтр, что
Надо доказать, что
Пусть
Так как
F,
то
F,
а значит,
Так как
и
то
т.е.
а это противоречит тому факту, что
– фильтр. Теорема доказана.
-
Ультрапроизведение моделей. Истинность формул на ультрапроизведении. Теорема Лося.
Пусть
– ультрафильтр на множестве
и
– совокупность моделей одной сигнатуры
Введём на произведении
отношение ~, полагая
Проверим, что ~ является отношением
эквивалентности. Имеем:
так как
значит, ~ рефлексивно. Симметричность
отношения ~ очевидна. Докажем теперь
его транзитивность. Пусть
и
Тогда
и
Если
то
и
откуда
Следовательно,
а значит,
Таким образом, отношение ~ транзитивно
и потому является отношением
эквивалентности.
Множество
отношением ~ разбивается на классы
эквивалентности. Множество классов
эквивалентности мы будем обозначать
и называть ультрапроизведением.
Класс эквивалентности, в котором лежит
элемент
мы будем обозначать
Чтобы превратить
в модель сигнатуры
нам надо определить на этом множестве
функции
и предикаты
Теорема
4. Пусть
– ультрапроизведение моделей
одной и той же сигнатуры
Формула
данной сигнатуры истинна на наборе
в том и только том случае, если
Доказательство.
Избавимся в формуле
от связок
и
и квантора
пользуясь эквивалентностями
Дальнейшее доказательство проведём
индукцией по длине формулы
понимая под длиной количество связок
и кванторов
входящих в формулу.
Пусть
– атомарная формула, то есть
где
– п-местный
предикат, а
– термы. Выясним, когда формула
истинна на наборе
. . . ,
Это будет в том и только том случае,
если
что и требовалось доказать.
Пусть
теперь
=
Тогда
(по предположению индукции)
(по теореме 3)
что и требовалось доказать.
Если
то
= =
Пусть
и
По предположению индукции
и аналогично для
Значит,
Осталось
рассмотреть случай, когда
Имеем:
в том и только том случае, если
при некотором
Зафиксируем набор
Пусть выполнено
Тогда
по предположению индукции
Положим
Из вида формулы
следует, что
Так как
то
Наоборот,
пусть
Тогда для
найдём такое
что
Для
в качестве
возьмём любые элементы. Пусть
Тогда
Так как
то
Следовательно, выполнено
Следствие.
Если формула
для каждого
истинна на наборе
в модели
то
истинна в
на наборе
