1. Исчисление высказываний. Формулы. Теорема о единственности представления формулы ИВ в виде конъюнкции, дизъюнкции, отрицания или импликации других высказываний.

Алфавит ИВ содержит следующие символы:

1. пропозициональные переменные – они обозначают элементарные высказывания – это “кирпичики”, из которых будут формироваться другие, более сложные высказывания;

2. логические связки:

3. служебные символы: “(“, “)”, “,” (левая скобка, правая скобка, запятая);

4. символ

Формула ИВ определяется индуктивно по следующей схеме:

1. атомарные формулы (простейшие) – это пропозициональные переменные;

2. если и – формулы, то – формулы.

Пусть дано слово в алфавите Подсловом этого слова мы называем всякое слово вида где началом слова называется подслово вида Слово, в котором нет ни одной буквы, называется пустым словом и обозначается символом Пустое слово является подсловом любого слова. Подформулой формулы мы будем называть подслово слова которое само является формулой.

Лемма 1. Если и – формулы и – начало то

Теорема 1. Всякая неатомарная формула единственным образом представима в одном из следующих видов: где и – формулы.

Доказательство. Существование такого представления следует из определения формулы. Надо лишь доказать единственность. Понятно, что если представима в виде то её нельзя представить в виде и надо лишь применить предположение индукции к формуле Пусть представима в виде неоднозначно. Тогда Одна из формул является началом другой. Значит, по лемме 1 Но тогда и Это доказывает единственность.

2. Генценовское ив. Правила вывода. Секвенции. Доказательства. Допустимые правила.

Секвенцияяи мы будем называть записи одного из следующих видов:

1. 

2. 

3. 

4. 

Здесь – формулы ИВ, знак читается “выводится. Секвенция (1) расшифровывается так: из формул выводится формула Секвенция (2) означает, что совокупность формул противоречива. Секвенция (3) означает, что формула выводима. Секвенцию (4) мы комментировать не будем. Она не будет иметь доказательства ни при каких обстоятельствах.

Аксиомами ИВ называются секвенции вида где – формула (не обязательно атомарная). Доказательства осуществляются на основе правил вывода, список которых мы приводим.

Правила вывода <…>

Доказательством Называется последовательность секвенций

где каждое – либо аксиома, либо получается из секвенций с помощью правил вывода. Правило вывода применяется следующим образом: если секвенции, стоящие в числителе, уже встречались в доказательстве, то на любом дальнейшем шаге доказательства мы можем написать секвенцию, стоящую в знаменателе.

Допустимые правила:

а)
б)
в)		з)
г)		и)
д)		к)
е)		л)
ж)		м)

3. Доказательство секвенций и

Лемма 4. Для любой формулы доказуема секвенция

Доказательство.

1. (аксиома);

2. (из (1) по правилу 5);

3. (аксиома);

4. (из (2) по правилу 12);

5. (из (3) по правилам 11, 12);

6. (из (4) и (5) по правилу 10);

7. (из (6) по правилам 9, 11);

8. (из (7) по правилу 4);

9. (из (3) и (8) по правилу 10);

10. (из (9) по правилу 9).

Лемма 5. Для любой формулы доказуема секвенция

Доказательство.

1. (аксиома);

2. (из (1) по правилу 2);

3. (из (1) по правилу 3);

4. (из (2) и (3) по правилу 10).

4. Эквивалентные формулы. Приведение формулы к нормальному виду.

Две формулы и называются эквивалентными (обозначается: если доказуемы секвенции и

Предложение 1. Отношение является отношением эквивалентности.

Доказательство. Рефлексивность и симметричность отношения очевидны. Докажем транзитивность. Пусть и Тогда Так как и то по правилу Аналогично получаем Таким образом,

Замечание. Впоследствии мы докажем, что эквивалентность формул означает, что эти формулы совпадают как булевы функции, у которых аргументами являются атомарные формулы. Но это будет сделано лишь после достаточного развития теории.

Предложение 2. Если то для любой конечной последовательности формул доказуемость секвенции равносильна доказуемости секвенции

Теорема 1 (о замене). Если и то

Следствием этой теоремы является тот факт, что если то любое вхождение формулы в более сложную формулу может быть заменено на формулу причём новая формула будет эквивалентна формуле Доказательство осуществляется индукцией по длине формулы К

Положим Пусть – атомарные формулы. Выражение вида будем называть элементарной дизъюнкцией, если слагаемые в этом выражении все разные. При этом, вообще говоря, формулы не обязательно различные

Теорема 2. Для всякой формулы рассматриваемой как выражение от атомарных формул существует формула такая, что и

где каждая скобка является элементарной дизъюнкцией.

Доказательство. Вначале избавимся в формуле от знака импликации используя эквивалентность Далее, пользуясь законами де-Моргана а также законом двойного отрицания мы сможем добиться того, чтобы знаки отрицания стояли только при атомарных формулах. Затем, используя дистрибутивность мы сможем сделать так, чтобы внешним действием была конъюнкция, т.е. получить выражение вида Наконец, благодаря эквивалентностям мы можем привести подобные члены, после чего каждая скобка в действительно будет элементарной дизъюнкцией.