17. Теорема о том, что для бесконечной мощностиm.

Теорема 5.В любой совокупности каких-либо множеств есть множество, наименьшее по мощности.

Доказательство.Пусть– совокупность множестви– их мощности. Тогда по теореме 1 (В любом множестве ординалов есть наименьший элемент.) средиесть наименьшее. Соответствующее множествобудет иметь наименьшую мощность.

Ранее мы видели, что Оказывается, что аналогичное равенство справедливо для любой бесконечной мощности.

Теорема 6.Если – бесконечная мощность, то

Доказательство.Нам надо фактически доказать, чтодля любого бесконечного множестваПредположим, что это не так. Тогда по теореме 5 существует множествонаименьшей мощности такое, чтоВвиду теоремы Цермело мы можем считать, что множествовполне упорядочено. Рассмотрим начальные отрезкимножестваудовлетворяющие условиюТакие отрезки существуют, например, отрезок, изоморфный натуральному рядуДля каждого такого начального отрезкаесть взаимно однозначное отображениеРассмотрим множество пари введём на нём отношение порядка, положивеслииПроверим, что множествоудовлетворяет условиям леммы Цорна. Действительно, пусть– цепь вПоложим(отображениемы рассматриваем здесь как подмножество множестваТогдавзаимно однозначно и– мажоранта цепиИтак, множествоудовлетворяет условиям леммы Цорна. Следовательно, в множествесуществует максимальный элементЗдесь– взаимно однозначное отображение.

Так как топоэтому(см. следствие 4 из теоремы 3 раздела 2.2). Очевидно,– вполне упорядоченное множество, большее по мощности, чемпоэтомуимеет начальный отрезокПустьТогдаВвиду наличия взаимно однозначного отображениявсе четыре скобки равномощны множествуСледовательно, существует взаимно однозначное отображениеЭто означает, что– взаимно однозначное отображение, продолжающееНо– максимальный элемент, аМы получили противоречие. Тем самым установлено, что

18. Понятие моделей данной сигнатуры. Примеры. Формулы исчисления предикатов. Истинность формулы в данной модели

Напомним определения операций и отношений на множестве, а именно: п-арной операцией на множестве называется отображениеп-арным отношением на называется отображениеп-арное отношение иначе называют п-арным (или п-местным) предикатом. Двуместный предикат – этобинарное отношение (к числу которых относятся =, и т.д.). Одноместный предикат– этосвойство элементов множества (еслимы говорим, что элементобладает данным свойством, а при– не обладает). Нульместный предикат – это просто истина 1 или ложь 0 – он не зависит от элементов множества

Сигнатурой называется пара где– набор символов операций– символ-арной операции),– набор символов отношений– символ-арного отношения).

Примеры сигнатур:

1. Группу можно рассматривать в сигнатуре (один символ бинарной операции – умножения и ни одного символа отношений) или в сигнатуре(один символ бинарной операции – умножения и один символ унарной операции – взятия обратного).

2. Кольцо обычно рассматривают в сигнатуре иногда в сигнатуре(0 – символ нульарной операции – взятия нуля). Кольцо с единицей иногда рассматривают в сигнатуреиногда в сигнатуре

3. –обычная сигнатура для упорядоченной группы (здесь

4. –сигнатура частично упорядоченного множества (здесь Ф

5. В предыдущем разделе мы рассматривали множество натуральных чисел в сигнатуре (штрих обозначает унарную операцию – взятие следующего элемента).

Пусть – сигнатура.Моделью сигнатуры называется множество такое, что каждому символу операциипоставлена в соответствие операция той же арности на множествеи каждому символу отношенияпоставлено в соответствие отношениетой же арности на множествеОперацию мы будем обозначать той же буквой, что и символ операции, а отношение – так же, как символ отношения. Множествомы будем называтьносителем модели. Нормальной является модель, в кот. Есть отношение «=», и оно понимается как совпадение элементов.

Примеры моделей:

1. Если задана сигнатура где– символ бинарной операции, то моделью этой сигнатуры будет любое множествона котором задана одна бинарная операция. Такое множество называетсягруппоидом. Если эта операция ассоциативна (т.е. то– полугруппа. Еслиудовлетворяет аксиомам группы (ассоциативность, существование единицы, существование обратного элемента), то– группа.

2. Рассмотрим модель с двумя бинарными операциями. Это модели: кольца, поля, тела и т.д. Кл. моделей , как в предыдущем пр. кл. полугрупп и кл. групп, опр-тся к-либо списком аксиом.

3. Частично упорядоченное множество определяется как модель где– символ бинарного отношения, удовлетворяющий следующим аксиомам:

1) (рефлексивность), 2) (транзитивность), 3) (антисимметричность). Если кроме этих аксиом выполняется аксиома 4) (дихотомичность), то называетсялинейно упорядоченным множеством, или цепью.

Пусть задана сигнатура т.е. множествосимволов операций и множествосимволов отношений.Язык логики первого порядка (язык узкого исчисления предикатов (УИП)) содержит:

1. символы из множеств и

2. алфавит предметных переменных; (маленькие буквы: алфавиткак правило, будет предполагаться счётным);

3. логические связки:

4. служебные символы: “,”, “(”, “)” (запятая, левая и правая скобки).

Терм определяется индуктивно:

1. предметная переменная – терм;

2. если – термы и– символп-арной операции, то – терм.

Примеры термов:

1. Для сигнатуры следующие выражения являются термами:Последний терм мы будем писать в сокращённом виде:а если имеет место ассоциативность умножения, то можно записать

2. В сигнатуре можно записать термы

3. Если – символ тернарной операции, а– унарной, то– термы.

Формула логики первого порядка сигнатуры определяется индуктивно:

1. если – термы сигнатурыи– символп-местного отношения, то – формула (такие формулы называютсяатомарными);

2. если и– формулы, то– формулы;

3. если – формула и– предметная переменная, тои– формулы.

Отметим, что так же, как и в исчислении высказываний, для облегчения восприятия формул мы часто в выражениях вида внешние скобки будем опускать.Примеры формул:

1. В сигнатуре формулами УИП являются слова:

2. В сигнатуре где точка обозначает символ бинарной операции, а = и– соответственно символы бинарного и тернарного отношений, примерами формул являются:

Связанная переменная формулы – это переменная которая связана квантором, т.е. в формулеесть подсловоилиПеременные, входящие в формулу, но не связанные кванторами, называютсясвободными. Формула называетсязамкнутой, если она не содержит свободных переменных. Замкнутую формулу можно назвать высказыванием. Незамкнутые формулы являются предикатами, но эти предикаты нульместные. Пример: – замкнутая формула, а– незамкнутая, её можно рассматривать как предикат от переменныхи(здесьозначает равенство по определению).Всякая формула УИП является предикатом от своих свободных переменных.

Пусть – модель, где– носитель,– сигнатура и– формула УИП со свободными переменнымиИстинность или ложность этой формулы зависит от того, какие значения мы придадим переменнымНазовёмоценкой отображение (смысл её состоит в том, что мы каждой предметной переменной присваиваем какое-то значение из множестваОпределимзначение истинности формулы на оценке Истину мы будем обозначать буквой И, а ложь – буквой Л. Определение построим индукцией по длине формулы. Положим ... ,

1. если – атомарная формула, где– термы, тов том и только в том случае, если

2. если имеет видилито истинность или ложность высказыванияопределяется по обычным правилам;

3. если тов том и только том случае, еслипри всех

4. если тов том и только том случае, еслипри каком-нибудь