10. Теорема Шрёдера – Бернштейна.

Мощностью конечного множества мы будем называть количество его элементов. Множества иназываютсяэквивалентными(илиравномощными), если существует взаимно однозначное отображение множествана множествоДля эквивалентных множеств мы будем писатьили

Свойства эквивалентности множеств:

1)

2. если то

3. если ато

Мощностью множества А называется совокупность всех множеств, эквивалентных множеству А. Мощность множества А обозначается

Говорят, что мощность множества не превосходит мощности множества(записываем:если существует вложение множества в множествоЕсли существует вложениевно не существует взаимно однозначного отображениянато мы говорим, что мощность множествастрого меньшемощности множестваи пишем

Теорема 1 (теорема Шрёдера – Бернштейна). Если существуют вложения ито существует взаимно однозначное отображение

Доказательство. Положим Пустьи вообщеМы имеем:

(1) , где

(2) , гдеОчевидно,взаимно однозначно отображаетнапоэтому существуеттакже взаимно однозначное. Проверим, чтовзаимно однозначно отображаетнаДействительно, пустьТак кактоСледовательно,ПустьТак какитодля некоторогоЭто равенство выполнено для каждого натуральногоЕслиито (ввиду того, что– вложение)Следовательно,Таким образом,взаимно однозначно. Кроме того,взаимно однозначно отображаетнанаи т.д., авзаимно однозначно отображаетнанаи т.д. Пользуясь соотношениями (1) и (2), нетрудно убедиться в том, что отображениеопределённое правиломявляется взаимно однозначным. ЧТД.

Практическое значение: она позволяет доказывать эквивалентность множеств ине прибегая к построению взаимно однозначного отображенияа строя лишь вложенияи

Пример. Докажем, что отрезок и интервалравномощны.Действительно, тождественное отображение является вложениемвДалее, отрезоквкладывается в интервала он взаимно однозначно отображается на интервалс помощью отображенияОтсюда по теореме Шрёдера – Бернштейна получаем:

Итак, отношение обладает обычными свойствами частичного порядка (рефлексивность, транзитивность, антисимметричность). Любые ли два множества сравнимы по мощности,т.е. верно ли, что для любых множествихотя бы одно из них вкладывается в другое? Да,для любых множеств А и В имеет место хотя бы одно из следующих соотношений: но доказать это мы сможем лишь позже – в разделе 2.2.

11. Вполне упорядоченные множества и их свойства.

Множество называетсявполне упорядоченным, если оно линейно упорядочено и любое непустое его подмножество имеет наименьший элемент.

Утверждение. Линейно упорядоченное множество является вполне упорядоченным, если и только если оно не содержит бесконечных убывающих последовательностей элементов

Доказательство. Необходимость. Пусть вполне упорядочено и в нём есть убывающая цепьТогда множествоне имеет наименьшего элемента – противоречие.

Достаточность. Пусть – линейно упорядоченное множество без бесконечных убывающих цепей элементов. Рассмотрим какое-нибудь непустое подмножествоПусть– какой-нибудь элемент изЕслих₁ не наименьший, то существует такое, чтоЕслине наименьший, то существуеттакое, чтои т.д. Еслине имеет наименьшего элемента, то существует бесконечная убывающая цепь, что противоречит условию.

Пр.1.Множество натуральных чисел с обычным отношением порядка является вполне упорядоченным.