8.4. Дифференцирование сложной функции

Теорема 8.3. Пусть функция дифференцируема в некоторой точке , а функция – дифференцируема в соответствующей точке . Тогда сложная функция дифференцируема в точке , причем для производной этой функции справедлива формула

(8.2)

Доказательство. Пусть у функции аргумент в некоторой точке получает произвольное приращение . Этому приращению соответствует приращение функции , а именно:

.

Приращению в свою очередь соответствует приращение функции в точке , а именно: .

Так как функция является дифференцируемой в точке , то по формуле (8.1) ее приращение можно представить в виде:

, где . Разделим обе части равенства на . Тогда . Перейдем в последнем равенстве к пределу, при :

. (8.3)

Из дифференцируемости функции в точке следует непрерывность этой функции в точке . Поэтому, , при .

Тогда из условия: следует, что .

Из дифференцируемости функции в точке следует существование производной: . Подставляя последние два предельных значения в равенство (8.3), получаем, что существует производная сложной функции , которая совпадает с пределом правой части равенства (8.3), а именно: . Таким образом, получим необходимую формулу (8.2).

Замечание 8.6. Иногда удобнее бывает рассматривать сложную функцию вида , где . Здесь – промежуточная переменная, а – окончательный аргумент. Тогда формула дифференцирования (8.2) сложной функции принимает вид или короче , (значком внизу обозначена переменная, по которой вычисляется производная).

8.5. Производные гиперболических функций

Гиперболические функции встречаются в механике, электротехнике и других технических дисциплинах. Многие формулы для гиперболических функций похожи на формулы для тригонометрических функций, кроме свойства ограниченности.

№	Функция	Название	Производная
1.		гиперболический синус
2.		гиперболический косинус
3.		гиперболический тангенс
4.		гиперболический котангенс

Формулы для гиперболических функций

1. .

Доказательство. Рассмотрим искомую разность

. Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .

2. .

Доказательство. Рассмотрим произведение

. Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .

3. .

Доказательство. Рассмотрим произведение

.

Рассмотрим произведение .

Сложим два произведения и приведем подобные:

. Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .

Ещё много других свойств гиперболических функций похожих на свойства тригонометрических функций, которые доказываются аналогично.

Докажем формулы для производных гиперболических функций.

1. Рассмотрим гиперболический синус .

При нахождении производной константу выносим за знак производной. Далее применяем свойство о производной разности двух функций и . Находим производную функции по таблице производных: . Производную функции ищем как производную сложной функции .

Поэтому, производная .

Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .

2. Рассмотрим гиперболический косинус .

Полностью применяем предыдущий алгоритм, только вместо свойства о производной разности двух функций и применяем свойство о производной суммы двух этих функций. .

Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .

3. Рассмотрим гиперболический тангенс .

Находим производную по правилу отыскания производной дроби.

.

4. Производную гиперболического котангенса

можно найти как производную сложной функции .

Соединяя начало и конец, получим доказываемое равенство: .