6.3 Предел и непрерывность функции в точке

Из определения 6.1 вытекает правило для вычисления предела непрерывной функции: ,

т.е. чтобы вычислить предел функции , при , надо найти значение функции в точке :

Условие непрерывной функции: можно еще переписать следующим образом: . Это говорит о том, что под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу аргумента.

Теорема 6.4 (о связи непрерывной функции и бесконечно малой функцией при ).

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . и непрерывна в точке . Тогда для того, чтобы функция была непрерывной в точке . необходимо и достаточно, чтобы функцию можно было представить в виде , где – бесконечно малая в точке .

Эта теорема следует из теоремы 6.3, если положить .

6.4. Непрерывность элементарных функций

Примерами непрерывных функций могут служить элементарные функции, которые непрерывны в своих областях определения.

Пример 6.1. Функция, принимающая постоянное значение для всех является непрерывной функцией в любой точке .

В самом деле, функция – это постоянная функция при произвольном значении постоянной . Имеем: и . Тогда приращение функции , соответствующее приращению аргумента , определяется, как: . Отсюда следует, что , что означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции. Получили, что функция является непрерывной функцией в любой точке .

Пример 6.2. Линейная функция непрерывной функцией в любой точке .

В самом деле, рассмотрим приращение функции , соответствующее приращению аргумента . . Получили: . Следовательно, , если , что доказывает непрерывность функция .

Пример 6.3. Функция непрерывна для любого .

В самом деле, по формуле разности синусов, имеем: .

При известно, что функция эквивалентна . Тогда , что подтверждает непрерывность функция .

6.5. Теоремы о непрерывных функциях

Теорема 6.5. Если функции и непрерывны в точке , то в этой точке их сумма , разность , произведение и частное (при ) – также непрерывны.

Теорема 6.6. (о непрерывности сложной функции)

Пусть задана функция , непрерывная в точке , и еще другая функция , непрерывная в точке , и пусть . Тогда сложная функция является непрерывной в точке .

Доказательство. Заметим, что по определению непрерывности функции в точке следует, что она определена в некоторой окрестности этой точки. Поэтому

, что говорит о непрерывности сложной функции .

Теорема 6.7. Если функция непрерывна в точке , то существует окрестность этой точки, на которой ограничена.

Теорема 6.8. Если функция непрерывна в точке и , то существует окрестность точки , на которой . Больше того, если , то ; а если , то для всех .

6.6. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Теорема 6.9. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на нем, т. е. существует положительная константа К, что для всех выполняется неравенство: .

Замечание 6.1. Если функция непрерывна на интервале или на полуинтервале или , то она не обязательно ограничена на нем. Например, функция непрерывна на полуинтервале , но не ограничена на нем. Конечно, если эту функцию доопределить, положив, например, , полученная функция будет конечной в любой точке отрезка , но, однако, не ограниченной на нем.

Теорема 6.10 (Вейерштрасса). Если функция непрерывна на , то на этом интервале существует ее минимум и максимум, т. е. существуют точки такие, что для всех . Иначе говоря, .

Замечание 6.2. Условие непрерывности функции на отрезке (замкнутом множестве, содержащим в себе оба конца и ) является существенным. Например, функция непрерывна на интервале и ограничена на нем; но не существует точек таких, что .

Теорема 6.11. Если функция непрерывна на отрезке , и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то существует, по крайней мере, одна точка , что .

Теорема 6.11 утверждает, что график непрерывна на отрезке , функции , удовлетворяющей условиям теоремы, должен пересечь ось по крайней мере в одной точке .

Следствие 6.1. Если функция непрерывна на отрезке, и   Тогда для произвольного числа С, находящегося между числами А и В, найдется по крайней мере одна точка одной точке , для которой . Таким образом, непрерывная на отрезке , имеющая на концах отрезка разные значения, принимает все промежуточные значения между ее значениями на концах отрезка

Доказательство. Определим новую функцию , где константа С – число, находящееся между Аи В. Так как функция непрерывна на отрезке, то и тоже непрерывная на том же отрезке. При этом, функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.к. или . Тогда по теореме 6.11 должна найтись по крайней мере, одна точка , что . Отсюда следует, что или , что и требовалось доказать.

Следствие 6.2. Непрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения между ее наименьшим и наибольшим значениями (которые существуют по теореме 6.10).

Для доказательства достаточно применить следствие 6.1 к отрезку , где - точки, в которых функция достигает свое наименьшее и наибольшее значение:

.