Лекция 6 предел и непрерывность функции

6.1 Определения бесконечно большой функции в точке ,

Определение 6.1. Функция называется бесконечно большой в точке , если , т.е. для любого, сколь угодно большого числа найдется такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , следует, что .

Теорема 6.1. Если функция – бесконечно большая в точке , то функция является бесконечно малой в точке .

Теорема 6.2. Если функция – бесконечно малая в точке и отлична от нуля в окрестности этой точки, т.е. для всех для некоторого числа , то функция является бесконечно большой в точке .

Теорема 6.3 (о связи функции, имеющей конечный предел и бесконечно малой функцией при ).

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , за исключением может быть самой точки . Тогда для того, чтобы существовал конечный предел , необходимо и достаточно, чтобы функцию можно было представить в виде , где – бесконечно малая в точке .

Доказательство. Необходимость. Пусть функция имеет конечный предел . Это эквивалентно, тому, что . Обозначим . Отсюда .

Неравенство говорит о том, что – бесконечно малая в точке .. Следовательно, .

Достаточность. Пусть функцию можно было представить в виде , где А – постоянная (число), а – бесконечно малая в точке . Тогда . Подставим в последнее неравенство вместо ее выражение . Получили: , что эквивалентно тому, что , что и требовалось.

6.2 Определения непрерывной функции

Определение 6.2. Функция называется непрерывной в точке , если выполняются три условия:

1) эта функция определена в некоторой окрестности точки ;

2) существует предел ;

3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

На языке условие 3) эквивалентно условию: .

Часто приходится рассматривать непрерывность функции в точке справа и слева.

Определение 6.3. Пусть функция определена в точке . Если , то говорят, что функция непрерывна в точке слева. Если , то функция непрерывна в точке справа.

Определение 6.4. Если функция непрерывна в каждой точке некоторой интервала , то она называется непрерывной в этом интервале.

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех точках интервала , непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке .

Определение 6.5. Пусть функция определена на отрезке . Возьмём произвольную точку . Близкая к ней другая точка может быть записана в виде , где число называется приращением аргумента . Оно может быть положительным или отрицательным. Разность называется приращением функции в точке , соответствующим приращению .

Определение 6.6. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе в самой точке , и если ее приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента , стремится к нулю, при .

Из этого определения следует, что если независимая переменная приближается к точке , то значения функции неограниченно приближаются к значению функции в точке . При этом близким значениям аргумента соответствуют близкие значения функции. Поэтому графиком непрерывной функции является нигде не прерывающаяся линия.

Определение 6.5 утверждает, что . Получили, что . Если положить: , тогда из условия следует , и определение 6.5 эквивалентно определению 6.1.