Степени числа

значение	степень	степень	степень	степень	степень
1				…
				…
-1				…
				…

Здесь n = 0,1,2,… .

Такие операции над комплексными числами, как возведения в степень, большую, чем 3 и извлечение корней, удобнее производить, когда комплексные числа представлены в тригонометрической или показательной форме.

Эквивалентное определение комплексного числа

Определение 2.2. Комплексным числом z называется упорядоченная пара (x, y) действительных чисел x и y. При этом равенство, сумма и произведение упорядоченных пар, а также отождествление некоторых из них с действительными числами определяются следующим образом:

1) два комплексных числа z₁ = (x₁, y₁) и z₂ = (x₂, y₂) называются равными, если x₁ = x₂ и y₁ = y₂;

2) суммой комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z вида z = (x₁ + x₂, y₁ + y₂);

3) произведением комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z = (x₁x₂ - y₁y₂, x₁y₂ + x₂y₁);

4) множество комплексных чисел , отождествляется с множеством действительных чисел R;

5) разностью комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z такое, что z₂ + z = z₁, откуда находим z = z₁ - z₂ = (x₁ - x₂, y₁ - y₂);

6) Частным комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z такое, что . Отсюда находим

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Если для изображения действительных чисел необходима числовая прямая, то для геометрической интерпретации комплексных чисел требуется плоскость. Всякое комплексное число можно изобразить как точку на плоскости с координатами a и b (или как вектор ). Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называется действительной, а Oy – мнимой осью.

Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений считаем, что : четверти, т.е. расположим его в первой координатной (см. рис. 2.3).

Рисунок 2.3. Изображение комплексного числа

Комплексное число (0, 1) обозначается символом i = (0, 1) - мнимая единица. Произведение .

Эквивалентность двух приведенных определений комплексных чисел следует из того, что произвольное комплексное число z , заданное упорядоченная парой (x, y) действительных чисел x и y, можно записать в алгебраической форме: z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy.

Определение 2.3. Модулем комплексного числа  называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Иначе, модуль – это длина радиус-вектора, который соединяет начала координат и соответствующую точку комплексной плоскости. Модуль комплексного числа стандартно обозначают: или или . По теореме Пифагора для получаем формулу для нахождения модуля комплексного числа: , которая справедлива для любых значений и или .

Определение 2.4. Аргументом комплексного числа называется угол между положительной полуосью действительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: .

Аргумент комплексного числа стандартно обозначают: или . Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента: . Данная формула справедлива только в правой полуплоскости. Если комплексное число располагается не в 1-ой и не 4-ой координатной четверти, то формула будет немного другой.

(Здесь функция – это главный угол или дуга, тангенс которого равен : и, который изменяется в интервале , т.е. ).

Для (AM=OB) получаем формулы , отсюда следует, что . Подставляя последние формулы в алгебраическую форму комплексного числа, получаем тригонометрическую форму записи комплексного числа: . Умножение комплексных чисел, записанных  в тригонометрической форме, выполняется стандартным образом, а далее используются тригонометрические формулы: косинус суммы и синус суммы. Получаем:

Эта формула справедлива не только для произведения 2-х комплексных чисел, но и для любого числа комплексных чисел, т.е. при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а их аргументы складываются.

Если перемножать одинаковых комплексных чисел, то получается формула Муавра: формула возведения комплексного числа в степень : .

Для того, чтобы комплексное число возвести в степень необходимо возвести в степень модуль этого числа, а аргумент умножить на .