lab4
.pdf
Лабораторная работа № 4
ИЗУЧЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОЛИТРОПНОЙ МОДЕЛИ СТАЦИОНАРНОЙ ЗВЕЗДЫ
Цель работы:
построить и рассчитать политропную математическую модель стационарной звезды;
объяснить причины потери адекватности модели на участке вблизи поверхности.
ВВЕДЕНИЕ
Наблюдениям доступны только самые внешние слои звезды. Представление о внутреннем строении звезды можно получить лишь с помощью теоретических рассуждений, основанных на общих физических законах. Правильность наших представлений может быть проверена по совпадению теоретических и наблюдаемых значений интегральных характеристик звезды ― массы, светимости и радиуса.
Согласно современным представлениям, основанным на многочисленных наблюдательных данных, стационарные звезды представляют собой равновесные газовые системы. Динамическое равновесие обеспечивается равенством силы газового давления, стремящейся распылить газ в пространство, и гравитационной силы, стремящейся сжать газ в точку.
Рассмотрим простейший случай ― стационарную не вращающуюся звезду, имеющую в силу соображений симметрии сферическую форму. Каждый ее элемент находится в состоянии гидростатического равновесия. Выберем внутри звезды на расстоянии r от центра сферический слой бесконечно малой толщины h. На внутренней стороне этого слоя давление вышележащих слоев равно p, а на внешней p – dp. Разность давлений dp определяется весом газа по известной формуле
dp gh , |
(1) |
где ρ ― плотность газа.
Ускорение свободного падения g в данном слое определяется на основании доказанной еще Ньютоном теоремы: внутри материального шара притяжение зависит только от массы той части шара, по отношению к которой притягиваемая точка является внешней. Если обозначить массу, сосредоточенную внутри шара с радиусом r, через Mr (на рисунке залито серым), то
g G Mr 2r .
Масса рассматриваемого слоя dM может быть определена следующим образом
dM 4 r 2 h .
Масса Mr складывается из масс dM всех нижележащих слоев толщиной h
(2)
(3)
r |
R |
(4) |
|
||
M r dM , |
M dM , |
|
0 |
0 |
|
здесь M и R ― соответственно масса и радиус всей звезды.
Окончательно для разности давлений dp на внутренней и внешней границе рассматриваемого слоя имеем
dp G |
M r |
h . |
(5) |
|
|
||
|
r 2 |
|
|
Формулы (3) и (5) непосредственно необходимы для расчета параметров среды на разных расстояниях от центра звезды.
Хотя давление во внутренних областях звезды огромно, высокая температура приводит к полной ионизации вещества. В этих условиях газ сохраняет свойства идеального газа и описывается уравнением состояния Менделеева―Клапейрона
p |
RT |
. |
(6) |
|
|
||
|
|
|
|
Здесь R = 8,31 Дж/(моль∙К) ― универсальная газовая постоянная, T ― термодинамическая температура, μ ― молярная масса вещества.
Вобъеме звезды присутствует излучение, плотность которого по закону Стефана
―Больцмана определяется
u aT 4 . |
(7) |
Излучение также оказывает давление на вещество звезды по закону
p |
1 |
aT 4 |
, |
(8) |
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
где а = 7,56∙10–15 эрг/(см3∙К4).
Давление излучения становится существенным для звезд с массой, превосходящей массу Солнца в 100 раз. Такие массы почти никогда не встречаются, поэтому давлением излучения мы пренебрегаем.
Последним уравнением математической модели можно принять уравнение политропического процесса. При политропическом процессе газ не изменяет значения своей теплоемкости. Применяя это уравнение, мы принимаем предположение о том, что при переходе от слоя к слою в недрах звезды теплоемкость газа не меняется (а в процессе построения модели можно плавно менять показатель политропы, так как мы не располагаем детальными данными о состоянии газа и можем судить о верности политропического приближения по конечным результатам расчета).
p C k , |
(8) |
где С ― коэффициент политропы и k ― показатель политропы, значения показателя политропы для разных процессов представлены в таблице.
Таблица 1 ― Значения показателя политропы для разных процессоов
Условия в веществе |
k |
Изобарический процесс (однородный шар) |
∞ |
Изотермический процесс |
1 |
Адиабатический процесс (конвективное |
5/3 |
равновесие) |
|
Адиабатический процесс (лучевое |
4/3 |
равновесие) |
|
ПОРЯДОК РАСЧЕТА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Исходными данными для модели являются температура в центре звезды Tc и плотность в центре звезды ρc. Далее по уравнению состояния (6) рассчитывается давление в центре звезды. Затем из уравнения (8) выражается коэффициент политропы C, показатель политропы k только в центре звезды принимается равным 1,8.
C p k , |
(9) |
Расчетом коэффициента С завершается первый этап расчета модели.
Для перехода к следующему слою вещества следует увеличить радиус r на
величину шага h (толщину слоя). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r r h , |
(10) |
||||||
Для расчета падения давления p следует рассчитать массу Mr, сосредоточенную |
||||||||
внутри шара с радиусом r. |
|
|
|
|
|
|
|
|
M r |
M r 4 r 2 h . |
(11) |
||||||
Шаг расчета падения давления по формуле (5) можно совместить с расчетом |
||||||||
давления на внешней границе рассматриваемого слоя |
|
|||||||
p p |
G |
M r |
h . |
(12) |
||||
|
|
|
||||||
i |
i 1 |
|
|
|
r 2 |
|
||
Далее следует рассчитать плотность на границе рассматриваемого слоя по |
||||||||
уравнению политропы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(13) |
||
|
k p . |
|||||||
|
|
|
||||||
|
|
C |
|
|||||
Как индикатор состояния вещества можно рассчитать температуру газа по уравнению состояния (следует отметить, что значение температуры непосредственно в рекуррентных расчетах не участвует)
T |
p |
. |
(14) |
|
|
||
|
R |
|
|
Показатель политропы k следует принять равным 4/3 для газа, находящегося в лучевом равновесии (без перемешивания).
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1.Заготовить файл электронной таблицы (рабочей книги Excel) для выполнения расчетов.
2.В листе электронной таблицы заготовить ячейки для хранения постоянных величин. Рекомендованный вид представлен в таблице (при этом значения, которые расчитываются, записаны в ячейках без заливки)
|
|
|
|
|
|
|
|
Молярная |
|
|
|
Поли- |
|
|
|
Тем-ра в |
|
|
|
плотность в |
|
|
|
|
|
|
тропный |
|
|
|
|
|
14000000 |
|
|
132000 |
|
масса в |
|
0,0005 |
|
|
1,33 |
|
|||
центре |
|
|
центре |
|
|
|
|
показатель |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
центре |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в центре |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Давление |
|
=D2*B2*8,31/ |
Коэффициент |
|
=B3/(СТЕПЕ |
h |
|
1000000 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в центре |
|
F2 |
политропы |
|
НЬ(D2;1,8)) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Далее на этом же листе электронной таблицы заготовить ячейки для рекуррентных расчетов.
k |
r |
M( r ) |
p |
ρ |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,33 |
0,000E+00 |
=4*ПИ()*B5^2*E |
=B3 |
=D2 |
=B2 |
|
5*$F$3 |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
=$H$ |
|
=C5+4*ПИ()*B6 |
=D5- |
=СТЕПЕНЬ(D6;1/ |
=D6*$F$2/(8,31*E6 |
|
=B5+$F$3 |
(0,0000000000667)*C6* |
|||||
2 |
^2*E5*$F$3 |
A6)/$D$3 |
) |
|||
|
E5*$F$3/B6^2 |
|||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Вид получающейся таблицы представлен на рисунке
4.Затем путем автозаполнения с помощью маркера ввода продлить таблицу примерно до строки 650.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Почему математическое моделирование является одним из основных методов астрофизики?
2.Какая основная идея заложена в основу модели стационарной звезды?
3.Объясните понятие адекватности модели.
4.Почему политропическая модель теряет адекватность раньше, чем удаление от центра звезды рассматриваемого слоя становится равно радиусу звезды?
5.Какие параметры необходимо изменить для описания условий вблизи поверхности звезды, чтобы продолжить расчет данной модели без потери адекватности?
6.Можно ли и если да, то в каких пределах изменять показатель политропы в ходе расчета модели?
7.Для каких типов звезд политропная модель непригодна?
ЛИТЕРАТУРА
Засов А.В., Постнов К.А. Общая астрофизика : учеб. пособие для вузов. ― Фрязино: Век 2, 2006.
Кононович Э. В., Мороз В. И. Общий курс астрономии : Учеб. пособие для студ. ун-тов различного профиля. ― М.: Эдиториал УРСС, 2001.
Климишин И. А. Астрономия наших дней. ― М.: Наука, 1986. Мартынов Д. Я. Курс общей астрофизики. ― М.: Наука, 1971.