FTF 5 semestr.PROHOROV / Лекции / лекции_6-симметрии

III. СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

1. Четность

Поведение изолированных физических систем со временем характеризуются рядом всеобщих законов, таких как законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. Совокупность этих законов часто называют интегралами движения. Законы сохранения являются отражением свойств симметрии пространства-времени (мира), в которых движутся тела. Например, сохранение энергии есть следствие однородности времени, то есть неизменности (инвариантности) физических законов относительно изменения начала отсчета времени. Сохранение импульса есть следствие однородности пространства, то есть инвариантности физических законов относительно параллельного переноса декартовых координат. Закон сохранения момента импульса – следствие изотропности пространства, то есть инвариантности физических законов относительно поворота системы координат.

Имеется еще один вид симметрии пространства-времени, связанный с

пространственной инверсией. Инверсия, или пространственное отра-

жение, есть изменение направления (знаков) всех трех пространственных осей координат:

В результате инверсии правовинтовая система координат преобразуется в левовинтовую и наоборот. В сферической системе координат инверсия выглядит следующим образом:

При определенных условиях микроскопическая частица характеризуется свойством, которому, в отличие от энергии, импульса или момента импульса не отвечает никакой классический аналог в макромире. Это свойство непосредственно относится к волновой функции частицы и связано с ее поведением при инверсии системы координат. Согласно основному физическому свойству волновой функции, квадрат ее модуля определяет плотность вероятности найти микрочастицу в данный момент в данной точке пространства. Очевидно, что плотность вероятности не должна зависеть от того, в какой системе координат – правой (x, y, z) или левой (–x, –y, –z) проводятся наблюдения:

или в сферической системе координат:

1

(r, , ) 2 (r, , ) 2,

если угол откладывается относительно оси Z, направление которой определяется одной из векторных характеристик микросистемы. Например, для зеркально-симметричного процесса вероятности вылета из ядра какой-либо частицы под углами и – относительно направления спина ядра должны быть равны. Таким образом, для зеркально симметричного процесса абсолютная величина ψ-функции не изменяется

В общем случае

где Р – некоторое число. Возведем модули левой и правой частей (2) в квадрат, получаем:

Сравнивая (1) и (3), устанавливаем, что Р2 = 1, а Р = ± 1. Величина Р (parity – четность) называется четностью. Таким образом, для четных систем Р = 1, для нечетных Р = –1:

(x, y, z) ( x, y, z).

Это свойство, характеризующее изменение (или неизменность) знака волновой функции (x, y, z) при инверсии координат называется четностью волновой функции.

Замечательным свойством для многих изолированных квантовых систем является закон сохранение четности: если изолированная физическая система в момент времени t = 0 имела определенную четность, то система сохраняет свою четность во все последующие моменты времени. Таким образом, четность является таким же интегралом движения, как энергия, импульс или момент импульса. Установлено, что четность сохраняется в процессах, обусловленных сильными (с участием ядерных сил) и электромагнитными взаимодействиями.

Четность системы из k нуклонов (или электронов) с орбитальными моментами l1, l2,. . . , lk равна

где l = l1+ l2+. . . + lk – суммарный относительный орбитальный момент системы.

Выполнение закона сохранения четности приводит к правилам отбора для электромагнитного излучения атомов и ядер, для радиоактивных пре-

2

вращений и ядерных реакций.

Основные состояния четно-четных ядер всегда имеют положительную четность. У других ядер основные состояния могут быть как четными, так и нечетными. Ядра в возбужденных состояниях могут иметь различную четность, не обязательно совпадающую с четностью основного состояния, которая отмечается знаком плюс или минус при обозначении спина (на-

пример, I 3 2, I = 1+ и т.п.).

2. Изотопический спин

Ранее уже отмечалось свойство зарядовой независимости ядерных сил. Гипотезу зарядовой независимости ядерных сил можно кратко выразить в виде символической записи:

(n – n) ≡ (n – р) ≡ (р – р).

Сходство свойств у протона и нейтрона позволяет говорить о них как об одной частице – нуклоне, которая может быть в различных состояниях – протонном и нейтронном. Тождественность ядерных свойств нейтрона и протона можно описать с помощью формальной, но очень удобной кванто-

вомеханической характеристики – вектора изотопического спина T (изо-

спина) ядра. В отличие от спина ядра, имеющего размерность механического момента и определяемого в обычном конфигурационном пространстве, вектор изотопического спина T вводится в формальном изотопическом пространстве не имеющим физической размерности, причем полагается, что |T | = 1/2 для обоих нуклонов. Нуклоны все время могут находиться только в начале координат изотопического пространства. Они могут только вращаться, но не могут двигаться поступательно. Тем самым нуклоны в изотопическом пространстве не могут иметь импульса и орбитального момента, а могут иметь только изотопический спин. В соответствии с квантовомеханическим правилом проекция изотопического спина Tz нуклона может иметь 2T + 1 значений, то есть две проекции. Проекция Tz = 1/2 соответствует протону, Tz = –1/2 – нейтрону. Итак, протон и нейтрон считаются различно ориентированными в изотопическом пространстве состояниями одной и той же частицы – нуклона. В этих терминах нуклон представляет собой изотопический дублет. Так как характер ядерного взаимодействия не зависит от сорта нуклонов (т.е. от знака проекции Tz), то ядерное взаимодействие нуклона определяется только величиной вектора изотопического спина T , а не его проекцией.

Поэтому ядерное взаимодействие инвариантно по отношению к вращению нуклона в изотопическом пространстве (например, замена протона нейтроном), так как не изменяет абсолютной величины вектора изотопиче-

3

ского спина. Это свойство ядерных сил называется изотопической инвариантностью. Изотопическая инвариантность утверждает, что все ядерные взаимодействия (и вообще все сильные взаимодействия) инвариантны (неизменны) относительно поворота вектора изотопического спина в изотопическом пространстве, подобно тому, как инвариантны взаимодействия относительно поворота обычной конфигурационной системы координат (закон сохранения спина). Это утверждение является содержанием закона сохранения изотопического спина. Изотопический спин является такой же важной характеристикой квантовой частицы, как энергия, спин и четность.

Рассмотрим систему из двух взаимодействующих между собой нуклонов. По правилам сложения квантовых моментов возможны два значения суммарного вектора изотопического спина T12 двух нуклонов

T12 = T1 + T2, T1 + T2 – 1 , . . . , |T1 – T2| = 1/2 + 1/2, 1/2 + 1/2 – 1 = 1, 0.

Однако в системах (n–n) и (p-p) вектор суммарного спина I12 не может быть равен нулю, а обязательно равен только единице, ибо его проекция равна единице по абсолютной величине (+1 или –1 соответственно). В системе (n–р) проекция вектора суммарного спина равна нулю и в этой связи система может находиться в состояниях с вектором изотопического спина равным как нулю, так и единице. Таким образом, в состоянии с изотопическим спином, равным единице, система (n–р) ничем, с точки зрения ядерного взаимодействия, не отличается от систем (n–n) и (p-p), что и постулировалось ранее.

Этот важный вывод будет использован в последующем, чтобы обосновать невозможность связанных состояний(n–n), (p-p) и (n–р) с суммарным вектором изотопического спина, равным единице.

Понятие изотопического спина можно обобщить и на основное состояние атомного ядра (A, Z). В этом случае проекцию изоспина ядра можно найти по формулам:

В соответствии с этим правилом ядра могут образовывать зарядовые мультиплеты. Ядра 3H и 3He образуют зарядовый дублет:

Примером изотопического триплета является триада из рассмотренных выше пионов, для которых изоспин равен 1.

Кроме мультиплетов возможно образование ядерных синглетов. Например, ядра 2H и 4He не имеют изобарных аналогов:

4

В ядерных реакциях выполняется закон сохранения изотопического спина, что накладывает определенные ограничения на ядерные процессы. Например, -частица (T = 0) может испуститься ядром только в том случае, если его начальное и конечное состояния имеют одинаковый изоспин.

Поскольку изотопические соотношения верны с точностью до кулоновского взаимодействия, то они и проявляются особенно четко у легких ядер, где роль электромагнитных сил сравнительно невелика.

3. Статистика

Статистика – коллективное свойство системы взаимодействующих частиц, связанное с неразличимостью частиц и вероятностным характером описания состояний системы в квантовой механике. Определение этого понятия будет дано ниже. Статистика проявляется для систем, состоящих из не менее двух одинаковых микрочастиц. Одинаковые микрочастицы имеют равные массы, электрический заряд, спин и другие характеристики, с помощью которых отличают микрочастицы одного сорта от микрочастиц другого сорта. Нельзя пронумеровать микрочастицы одной природы, чтобы можно было следить за движением каждой из них вдоль соответствующей траектории, уже хотя бы потому, что понятие траектории в квантовой теории теряет смысл. Поэтому вводится понятие тождественности частиц, согласно которому все одинаковые частицы, образующие данную квантовомеханическую систему, оказываются абсолютно неразличимыми. Если в системе тождественных частиц поменять местами две частицы, то перестановка частиц не приведет ни к каким изменением в состоянии системы и не может быть экспериментально обнаружена.

Пусть имеется простейшая система из двух тождественных частиц. Состояние каждой из частиц в пространстве задается тремя координатами и проекцией спина на выбранную ось. Обозначим эти состояния каждой из частиц как ζ1 и ζ2 соответственно. Такая система описывается волновой функцией ψ(ζ1, ζ2). В силу принципа тождественности частиц, состояния системы, получающейся в результате простой перестановки обеих частиц, должно быть физически эквивалентным исходному состоянию. В квантовой механике доказывается, что

ψ(ζ2, ζ1) = ± ψ(ζ1, ζ2).

Таким образом, при перестановке частиц волновая функция системы либо не меняется, либо меняет свой знак. Функцию, которая не меняет свой знак при перестановке пары частиц, называют симметричной, в противном

5

случае – антисимметричной. Эти же свойства обобщаются на системы, включающие более двух тождественных частиц.

Такое свойство тождественных частиц по отношению к перестановкам называется статистикой.

Вид симметрия волновой функции определяется физической природой частиц и не зависит ни от энергии взаимодействия между частицами, ни от наличия внешних полей.

Существует два вида квантовой статистики.

Частицы с целым спином (например, фотоны, пионы) образуют системы, которые описываются симметричными волновыми функциями при перестановке любой пары частиц. Частицы такого рода подчиняются ста-

тистике Бозе–Эйнштейна и получили название бозонов.

Частицы с полуцелым спином (например, нуклоны, электроны), которые образуют связанные структуры и описываются антисимметричными функциями при перестановке частиц, подчиняются статистике Ферми– Дирака и носят названия фермионов. Частицы с полуцелым спином (фермионы) подчиняются принципу или запрету Паули: в любой системе тождественных фермионов в одном и том же одночастичном состоянии, которому отвечает определенный набор квантовых параметров (энергия, спин, четность), не может находиться больше одной частицы.

Отметим число возможных состояний системы из двух тождественных частиц, если имеется два состояния для каждой из частиц.

В статистике Бозе–Эйнштейна возможны три состояния системы:

а) Обе частицы в первом состоянии (обе размещены на первой полке). б) Обе частицы во втором состоянии (обе размешены на второй полке). в) Одна из частиц в первом состоянии, другая – во втором (одна на

первой полке, другая на второй). Какая именно из частиц – вопрос, не имеющий смысла.

В статистике Ферми–Дирака возможно только одно состояние системы: а) Одна из частиц находится в первом состоянии, другая – во втором.

Какая именно из частиц – вопрос, не имеющий смысла.

Каждой из статистик отвечает свой закон распределения вероятностей нахождения частиц в состояниях с определенными квантовыми параметрами: распределение Бозе–Эйнштейна и распределение Ферми–Дирака.

Оба распределения при переходе к макроскопическим условиям переходят в классическое распределение Больцмана. Например, в сильно возбужденном состоянии энергетические уровни ядра почти сливаются, и в этом смысле ядро становится похожим на макроскопическую систему, для которой разрешены любые значения энергии. Поэтому и энергетический спектр нейтронов, вылетающих из ядра в таком состоянии (например, при делении ядер), близок к распределению Максвелла (которое является след-

6

ствием распределения Больцмана). Энергетическое состояние самого ядра при этом может быть описано с помощью такого макроскопического параметра, как температура.

Приведем некоторые примеры использования статистики.

Ранее рассмотрены возможные значения вектора изотопического спина для систем, состоящих из двух нуклонов. Так как система состоит из фермионов, то они должна описываться антисимметричной волновой функцией, которая для нуклонов теперь, зависит не только от пространственных координат и проекций спинов, но и от проекций изотопического спина. При перестановке нуклонов переставляются все эти три сорта переменных волновой функции. Волновая функция системы при такой полной перестановке может менять знак только в двух случаях:

1). Волновая функция системы антисимметрична по каждому сорту переменных. Очевидно, что нечетное число перестановок изменит знак волновой функции;

2). Волновая функция системы антисимметрична по одному сорту переменных и симметрична по двум другим. Тогда перестановка по антисимметричному сорту переменных изменит знак волновой функции, тогда как перестановка по симметричным двум другим не изменит знака. Таким образом, и в этом случае нечетное число перестановок изменяет знак волновой функции.

По координатным переменным волновая функция системы симметрична в состояниях с четным орбитальным моментом (l = 0, 2, …), которые обозначаются как s-, d-, … состояния, и антисимметрична при нечетном орбитальном моменте (l = 1, 3, …), которые обозначаются как p-, f-, … состояния.

По спиновым переменным волновая функция системы симметрична в состояниях с суммарным вектором спина, равным единице (спины нуклонов параллельны), и антисимметрична в состояниях с суммарным спином, равным нулю (спины нуклонов антипараллельны).

Так как в s- и d- состояниях волновая функция системы из двух нуклонов симметрична, то она должна обладать противоположными свойствами симметрии для суммарных значений спина и изотопического спина: если спин равен единице, то изотопический спин должен быть равен нулю, и наоборот. Напротив, в p- и f-состояниях спин и изотопический спин должны иметь одинаковые значения – либо нуль, либо единицу.

Рассмотрим возможные состояния дейтона 2Н. Спин I дейтона равен единице и орбитальный момент l должен быть равен либо нулю, либо двойке, чтобы спин ядра 2Н был равен единице:

7

Такой же результат получается из закона сохранения четности. Четность дейтона в основном состоянии положительна и равна (–1)l (см. (4)).Тем самым, в основном состоянии дейтон не может иметь орбитальный момент l = 1, а должен находиться в s- или d- состояниях с l = 0 или 2.

Таким образом, волновая функция дейтона симметрична по величине спина I = 1 и величине орбитального момента l = 0, 2. Поэтому для дейтона, единственного связанного состояния системы (n–p), изотопический спин Т должен быть равен нулю. Остальные три системы (n–n), (p–p) и (n–p), как показано в предыдущем параграфе, имеют изотопический спин Т, равный единице, из чего следует равенство нулю суммарного спина I системы и величины орбитального момента l. Следовательно, эти три системы тождественны относительно ядерного взаимодействия. В табл. 2 приведены возможные состояния системы из двух нуклонов в s-состоянии.

Знаки «/+» и «/–» обозначают симметрию по соответствующим состояниям

Из экспериментального факта существования единственного связанного состояния системы (n–p) – дейтона с параллельными спинами нейтрона и протона и отсутствием связанного состояния системы (n–p) с антипараллельными спинами следует вывод о невозможности связанных состояний систем (n–n) и (p–p) – бинейтрона и бипротона. Попытки экспериментально обнаружить эти системы в связанном состоянии не увенчались успехом до настоящего времени.

4. Законы сохранения и симметрии

Открытие большого количества частиц, исследование механизмов их взаимодействий и распадов привело к необходимости введения новых характеристик частиц – новых квантовых чисел. Были открыты новые особенности различных взаимодействий и, в частности, новые свойства симметрии.

Важную роль в понимании механизмов взаимодействия элементарных

8

частиц, их образования и распада сыграли законы сохранения. Законы сохранения определяют правила отбора, согласно которым процессы с частицами, приводящие к нарушению законов сохранения, не могут осуществляться в определенных типах взаимодействий. В дополнение к законам сохранения, действующим в макромире, в физике микромира были обнаружены новые законы сохранения, позволяющие объяснить наблюдаемые экспериментальные закономерности.

Законы сохранения являются результатом обобщения экспериментальных наблюдений. Часть из них была открыта в результате того, что реакции или распады, разрешенные всеми ранее известными законами сохранения, не наблюдались или оказывались сильно подавленными. Так были открыты законы сохранения барионного, лептонных зарядов, странности, чарма (очарования) и др.

Как известно из классической механики производная от некоторой механической величины F может быть выражена через классическую скобку Пуассона

dF F HF . dt t

Переходя от классических величин к квантовым, получим

F F HF .

t

Отсюда следует, что квантовомеханическая величина F является интегралом движения если:

–оператор F не зависит от времени явно;

–оператор F коммутирует с оператором Гамильтона. В этом случае

F 0.

Это легко получить из следующих простых вычислений:

Выразив производные / t и */ t через волновые функции с помощью уравнения Шредингера

9

и комплексно сопряженного с ним уравнения

t

В соотношении (5) учтено, что оператор H – эрмитов.

Таким образом, из соотношения (3) следует, что если известны операторы различных квантовомеханических величин и оператор Гамильтона системы, можно найти величины сохраняющиеся в процессе движения системы.

В каждом случае, когда физические законы инвариантны относительно какой-либо операции симметрии U, существует соответствующая ей сохраняющаяся физическая величина.

Законы симметрии устанавливаются на основе эксперимента. Оператор U , описывающий определённую симметрию системы, дол-

жен коммутировать с гамильтонианом, описывающим систему

UH HU 0.

1. Требование независимости законов движения системы от выбора начала отсчёта времени выражается в коммутации оператора трансляции на малый интервал времени F( t):

F( t) 1 t / t

с оператором Гамильтона

F( t)H HF( t),

что приводит к закону сохранения энергии в замкнутой системе или системе в стационарных внешних полях.

2. Сохранение момента количества движения связано с изотропией пространства. Оператор Wz поворота на малый угол вокруг оси z связан с Lz – проекцией вектора оператора момента соотношением

Wz 1 (i/ ) Lz .

Следствием коммутации операторов Wz с оператором Гамильтона является закон сохранения момента количества движения. Учёт квантовых закономерностей приводит к двум важным следствиям.

Момент количества движения L квантуется. Частица может иметь собственный момент количества движения – спин s:

L = l + s

10