Метод Гаусса

Следует заметить, что вычисления как по методу обратной матрицы, так и по методу Крамера являются очень трудоемкими. Оба они требуют порядка п²п! арифметических действий для нахождения решения системы линейных уравнений. При п = 5 это составит около 3000 действий, при п = 10 — около 3, 6 · 10⁸ действий. При решении серьезных задач приходится иметь дело с системами уравнений порядка п = 100 и более. При таких масштабах даже суперкомпьютерам потребуется долгое время для вычисления решения. Кроме того, погрешности компьютерного округления чисел приводят к большим ошибкам в численных расчетах решения систем уравнений большого порядка. Между тем существуют более экономичные методы решения систем линейных уравнений, основанные на предварительном преобразовании расширенной матрицы системы к специальному виду, в частности метод Гаусса. Рассмотрим его практическую реализацию.

Пусть для определенности в системе уравнений общего вида (16.1) (если а₁₁ = 0, то можно переставить на первое место ненулевое слагаемое или начать с другого уравнения). Умножим первое уравнение системы (16.1) на число a₂₁/a₁₁ и вычтем его из второго уравнения этой системы. Затем умножим обе части первого уравнения на число a₃₁/a₁₁ и вычтем его из третьего уравнения и так далее, т. е. процесс заключается в последовательном вычитании первого уравнения, умножаемого на числа a_i1/a₁₁, из i-го уравнения (i = 2, 3, ..., т). Таким образом, в результате элементарных преобразований мы получим эквивалентную систему, в которой, начиная со второго уравнения, отсутствуют слагаемые, содержащие неизвестную х₁:

(16.15)

где верхний индекс в скобках означает новые коэффициенты полученные после первого шага. Для уменьшения громоздкости записи удобнее оперировать расширенной матрицей системы, отделяя в ней вертикальной чертой столбец свободных членов. Итак, после первого шага, содержащего (m —1) элементарных преобразований системы, мы переходим от расширенной матрицы (16.5) исходной системы к расширенной матрице

(16.16)

Второй шаг заключается в том, что теперь второе уравнение системы (16.13), или вторая строка матрицы (16.14), используется для аналогичных элементарных преобразований строк с третьей по m-ю: эта строка последовательно умножается на число и вычитается из i-й строки (r = 3, 4, ..., m). В результате этих (m-2) элементарных преобразований получаем новую расширенную матрицу, соответствующую новой эквивалентной системе уравнений. Эта матрица имеет вид

(16.17)

где верхний индекс означает новые коэффициенты. В случае если элемент , второе уравнение можно поменять местами с другим уравнением, у которого элемент .

Продолжим этот процесс аналогичным образом (т.е. на третьем шаге преобразуются строки с 4-й по m-ю, на четвертом шаге — строки с 5-й по m-ю и т.д.) до тех пор, пока не пойдем до последней m-й строки. После (r–1)-ro шага процесса последовательного исключения неизвестных мы получим следующую расширенную матрицу:

(16.18)

Последние (m-r) строк этой матрицы соответствуют уравнениям эквивалентной системы уравнений

(16.19)

Эти уравнения могут появиться, если соответствующие уравнения исходной системы (16.1) представляют собой линейные комбинации других уравнений этой системы. Здесь мы не исследовали заранее систему (16.1) на совместность; поэтому если эта система несовместна, то хотя бы одно из чисел не равно нулю. Таким образом, метод Гаусса позволяет на определенном шаге установить возможную несовместность исходной системы линейных уравнений или выявить и удалить уравнения, являющиеся линейными комбинациями других уравнений системы (16.1), если она совместна.

Пусть система (16.1) совместна, тогда все правые части Уравнений (16.19) равны нулю, и после удаления нулевых уравнений в эквивалентной системе и нулевых строк в расширенной матрице получаем матрицу специфического ступенчатого вида, ранг которой равен r. Все элементы этой матрицы, стоящие слева или ниже элементов а_ii равны нулю:

(16.20)

Эта расширенная матрица соответствует системе уравнений ранга r, которая имеет вид

(16.21)

Полученная система уравнений (16.21) позволяет найти решение, осуществляя процесс снизу вверх, т.е. от последнего уравнения к первому. Переход от системы (16.1) к эквивалентной ей системе (16.21) называется прямым ходом, а нахождение неизвестных из системы (16.21) — обратным ходом метода Гаусса. Далее последовательность действий аналогична последовательности для решения системы линейных уравнений общего вида.

Если r = п, то система (16.21) имеет вид

(16.22)

Поднимаясь снизу вверх, последовательно находим (обратный ход метода Гаусса):

• из последнего r-го уравнения неизвестное ;

• из (r–1)-го уравнения неизвестное х_r-1 путем подстановки в это уравнение уже найденного неизвестного х_r;

• из i-го уравнения неизвестное х_i при подстановке в него найденных величин х_r, x_r-1, …, x_i+1;

• и так далее до первого уравнения, из которого при подстановке в него уже найденных величин х_r, x_r-1, …, x₂ находим x₁.

Если ранг системы уравнений (16.21) r < п, объявляем неизвестные х_r+1, x_r+2, …, х_п свободными и формируем правые части уравнений (16.21), оставляя в левых частях слагаемые, содержащие базисные переменные х₁, x₂, …, x_r:

(16.23)

Решение этой системы находится обратным ходом метода; теперь базисные неизвестные зависят от свободных неизвестных, которые могут принимать любые значения, а потому система (16.1) имеет бесчисленное множество решений.

Рассмотрим примеры решения систем линейных уравнений методом Гаусса.

Практикум по разделу «Системы линейных алгебраических уравнений».

1. Контрольные вопросы.

1. Сформулируйте определение системы линейных алгебраических уравнений.

2. Дайте определение решения системы линейных алгебраических уравнений.

3. Что значит решить систему линейных алгебраических уравнений.

4. Каким образом записывается система линейных алгебраических уравнений в матричной форме.

5. В чем заключается метод обратной матрицы решения системы линейных алгебраических уравнений.

6. Как решать систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.

7. В чем заключается метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений и каковы его преимущества перед другими методами.

2. Решение упражнений и задач.

Задача 1. Найти решение системы уравнений

Составим и вычислим определители системы и (j = x, y, z):

, , , .

Определитель системы отличен от нуля, стало быть, она имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам (16.12):

Задача 2. Выпишем расширенную матрицу системы уравнений, приведенную в задаче 1; справа в скобках укажем числа, на которые умножается соответствующая строка матрицы, с тем чтобы сложить ее с другими строками. Горизонтальными стрелками показаны переходы к расширенным матрицам эквивалентных систем. Первую строку расширенной матрицы исходной системы умножаем последовательно на (–2) и (–1) и прибавляем ее соответственно ко 2-й и 3-й строкам этой матрицы. После первого шага, состоящего в "обнулении" первого столбца, согласно формуле (16.15), получаем (номера шагов показаны над стрелками перехода):

1

Второй шаг прямого хода метода Гаусса состоит в операциях с преобразованной расширенной матрицей: прибавляем вторую строку, умноженную на (–3), к 3-й строк

2

Последний вид расширенной матрицы является конечным этапом прямого хода метода [см. формулу (16.22)], после чего приступаем к обратному ходу, т.е. находим неизвестные, начиная с последнего. Полученная расширенная матрица соответствует системе уравнений

которая эквивалентна исходной системе. Отсюда последовательно находим: z = –1/2, у = 0, х = 1 – 0 – (–1/2) = 3/2.

Задача 3. Найти решение системы уравнений

2

1

Составим расширенную матрицу этой системы, после чего выполним соответствующие шаги прямого хода метода Гаусса. Получаем:

3

2

3

Последняя нулевая строка в расширенной матрице, полученной после третьего шага, появилась из-за того, что в исходной системе четвертое уравнение является суммой первого и третьего уравнений. Система совместная, и после удаления нулевой строки заключительный вид расширенной матрицы соответствует системе трех уравнений с четырьмя неизвестными (ранг системы меньше числа неизвестных). Полагая х₄ свободной переменной, получаем

Из этой системы получаем обратным ходом метода Гаусса

Данная система уравнений имеет бесчисленное множество решений, поскольку х₄ может принимать любые значения.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы.

2. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

а)

б)

3. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

а)

б)

Контролирующий материал.

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы.

2. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

а)

б)

3. Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

а)

б)