Наименование темы: Системы линейных алгебраических уравнений

Цель усвоения темы: Формирование навыков решения систем линейных алгебраических уравнений различными методами

Теоретический материал представлен в виде лекций:

Системы линейных алгебраических уравнений

Это один из основных разделов в алгебре. Нет такой отрасли науки и приложений, где в том или ином виде не использовались бы системы линейных алгебраических уравнений. При решении экономических задач системы линейных уравнений наиболее употребимы как в аппарате исследования, так и при рассмотрении частных проблем.

1. Основные понятия Общий вид и свойства системы уравнений

Система т линейных уравнений с п неизвестными (переменными) х₁, х₂, …, x_n имеет вид

(16.1)

Здесь a_ij и b_j — произвольные числа (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n), которые называются соответственно коэффициентами при неизвестных и свободными членами уравнений (16.1). Первый индекс у коэффициентов при неизвестных означает номер уравнения, второй индекс соответствует номеру неизвестного x_i/

Решением системы уравнений (16.1) называется набор п чисел , , …, , при подстановке которых в эту систему каждое уравнение данной системы превращается в тождество.

Система уравнений (16.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной. Совместная система уравнений имеет либо одно решение, и в таком случае она называется определенной, либо, если у нее больше одного решения, она называется неопределенной.

Системы уравнений вида (16.1) называются эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Элементарные преобразования исходной системы приводят к эквивалентной системе. К элементарным преобразованиям относятся:

1. вычеркивание уравнения 0х₁ + 0x₂ + … + 0x_n = 0 - нулевой строки;

2. перестановка уравнений или слагаемых a_ijx_j в уравнениях;

3. прибавление к обеим частям одного уравнения соответственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженного на любое действительное число;

4. удаление уравнений, являющихся линейными комбинациями других уравнений системы.

Последнее свойство вытекает из третьего свойства: если какое-либо уравнение представляет собой линейную комбинацию других уравнений, то из него можно сформировать нулевую строку.

Матричная форма системы уравнений

Сведем коэффициенты при неизвестных в системе уравнений (16.1) в матрицу

(16.2)

Эта матрица состоит из т строк и п столбцов и называется матрицей системы. Введем в рассмотрение две матрицы-столбца: матрицу неизвестных X и матрицу свободных членов В:

(16.3)

X и В представляют собой векторы-столбцы, однако в целях единого подхода в рамках матричной алгебры удобнее трактовать их именно как матрицы, состоящие соответственно из п и т строк и одного столбца.

Тогда систему линейных уравнений (16.1) можно записать в матричной форме, поскольку размер матрицы А равен т х п а размер X — п х 1, значит, произведение этих матриц имеет смысл:

АХ = В

(16.4)

Произведение матриц АХ является, как и В, матрицей-столбцом размера mxl, состоящей из левых частей уравнений системы (16.1). Все уравнения этой системы вытекают из уравнения (16.4) в силу определения 2 равенства двух матриц.

Введем в рассмотрение еще одну матрицу; дополним матрицу системы А столбцом свободных членов и получим новую матрицу размера т х (n + 1):

(16.5)

Матрица А_В называется расширенной матрицей системы. Эта матрица играет важную роль в вопросе о разрешимости системы уравнений.

Теорема 16.1 (теорема Кронекера-Капелли; критерий совместности системы). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

Доказательство этой теоремы мы не приводим.