13

10-я лекция, 2017 г., осень

10. Теория ламинарного движения жидкости

1. Потери напора, скорость, расход при ламинарном течении. Формула Пуазейля

2. Формула Вейсбаха-Дарси.

3. Начальный участок ламинарного течения

4. Ламинарное течение в зазоре

5 Ламинарное течение в зазоре. Случай подвижных стенок.

6. Ламинарное течение в зазоре. Случай концентрических зазоров.

10.1. Потери напора, скорость и расход при ламинарном движении жидкости. Формула Пуазейля.

При перемещении слоев вязкой жидкости возникают силы внутреннего трения, направленные по касательной к поверхности слоев. Действие этих сил проявляется в разности скоростей слоев (рис.10.1а).

Трение при движении вязкой жидкости было открыто Ньютоном. Он обнаружил пропорциональность между силой внутреннего трения, площадью соприкасающихся слоев и относительной скоростью перемещения.

Рис.10.1 Сдвиг слоев реальной жидкости и возникновение деформации сдвига.

При ламинарном режиме в трубе круглого сечения жидкость движется кольцевыми концентрическими слоями ( рис.10.1а) толщиной δn. Скорость слоев уменьшается от стенок к оси. Разность скоростей в соседних слоях равна δu. На поверхности соприкасающихся слоев возникают силы внутреннего трения.

Элементарный объем (рис.10.1б) из-за различия скоростей верхнего и нижнего слоя деформируется, скорость сдвига слоя

где δu/δn – градиент скорости

Закон внутреннего трения, открытый Ньютоном

(10.1)

где μ – коэффициент динамической вязкости, dθ/dt – скорость деформации сдвига.

В зависимости от направления отсчета от стенки или от оси градиент скорости может быть положительным или отрицательным.

При ламинарном режиме движения слои жидкости скользят один по другому не перемешиваясь. В жидкости преобладают силы вязкости, поэтому силы инерции и силы тяжести при выводах, связанных с ламинарным движением могут не учитываться.

Для определения скоростей, расхода и потерь при ламинарном движении в прямой круглой трубе, расположенной горизонтально, с внутренним диаметром равным d = 2r_о, выделяют цилиндрический объем длиной l между сечениями "1-1" и "2-2", радиусом r, соосный с трубой и имеющий основания в выбранных сечениях.

В сечении "1 – 1" давление равно Р_1, а в сечении "2 – 2" равно Р₂. При одном и том же внутреннем диаметре трубы средняя скорость жидкости будет постоянной V₁=V₂ , коэффициент Кориолиса α не будет изменяться вдоль потока.

Рис.10.2.Ламинарное движение жидкости в круглой трубе.

Уравнение Бернулли для выбранных сечений "1-1" и "2-2

.

При z₁=z₂, V₁=V₂

где h_тр = Р_тр /(ρg), — потеря напора на трение по длине, эту величину показывают пьезометры, установленные в этих сечениях.

Равновесие выделенного объема рассматривается под действием сил давления и сил трения в слоях окружающей жидкости.

По поверхности цилиндра действуют касательные напряжения τ. При малой длине цилиндра, можно считать, что напряжения равномерно распределенными по поверхности, поэтому уравнение равновесия цилиндра приобретает вид

(Р₁ - Р₂)πr²-2πrlτ = 0, Р_тр *πr²=2πrlτ, откуда

. (10.2),

где Ртр =(Р₁-Р₂) –перепад давлений на основаниях цилиндра.

Касательные напряжения в поперечном сечении трубы изменяются по линейному закону в функции радиуса. Эпюры касательного напряжения показаны на рис.10.2 в начале трубы.

Выразим касательное напряжение τ через динамическую вязкость и градиент скорости, используя радиус r

Подставляя τ из уравнения (10.2) , получим

Дифференциал скорости:

Выполнив интегрирование, получим мгновенную скорость в любой точке

При r = r₀ ,V = 0 .

Используя С, получаем

Закон распределения скоростей по сечению круглой трубы при ламинарном течении

. (10.3)

Кривая, изображающая эпюру скоростей, является параболой (рис.10.2, справа). При увеличении радиуса скорость уменьшается, что соответствует профилю скоростей, показанному на рис.10.2 в конце трубы.

Максимальная скорость в центре сечения при r = 0 равна

(10.4)

Расход определяем по движению жидкости через элементарную площадку δS= 2πrdr, которая берется в виде кольца радиусом r, и шириной δr

δQ = VδS,

переходя к дифференциалам:

.

После интегрирования от r = 0 до r = r_0, получим

.

Расход жидкости через круглую трубу при ламинарном режиме течении

(10.5)

Средняя скорость при ламинарном течении через круглую трубу:

, (10.6)

Сравнение средней скорости с максимальной показывает, что средняя скорость при ламинарном течении в 2 раза меньше максимальной Vмакс = 0,5Vср.

Потери напора h_ТР на трение при ламинарном течении в круглой трубе, определяются из формулы для расхода через диаметр трубы

Закон Пуазейля (формула Пуазейля) при ламинарном течении в трубе круглого сечения

, ( 10.7)

где μ=νρ – динамическая вязкость, ν – кинематическая вязкость.

Этот закон используется для расчета потерь в трубопроводах при ламинарном течении. Жорж Пуазейль - французский ученый вывел эту формулу в 1840 г.