3.6.Разложение логических функций по переменным. Совершенные нормальные формы.

Для любой формулы алгебры высказываний можно указать равносильную ей формулу, содержащую лишь три основные операции: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция.

Например, импликация и эквиваленция легко выражаются через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию: , .

Пример 3.13. Преобразовать формулу так, чтобы она содержала лишь три основные операции:

Решение.

Используя равносильные преобразования, имеем: .

Выразить данную формулу через отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию возможно не одним способом, а многими. К примеру, рассматриваемая в примере формула равносильна также следующим формулам, содержащим из логических связок лишь  :

  и так далее.

Среди всевозможных выражений данной формулы через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание некоторые играют важную роль, как в алгебре высказываний, так и в ее приложениях. Рассмотрение таких выражений, называемых совершенными нормальными формами, и составляет цель настоящего параграфа.

Нормальная форма логической формулы не содержит импликации, эквиваленции и отрицания не элементарных формул.

Нормальная форма существует в двух видах:

1) Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) - это формула, имеющая вид конъюнкций нескольких(или одного) элементарных дизъюнкций.

Элементарными дизъюнкциями называются дизъюнкции переменных, в которых каждая переменная или ее отрицание встречается не более одного раза.

Например,  - элементарные (простые) дизъюнкты,

- конъюнкция двух элементарных дизъюнкций, то есть конъюнктивная нормальная форма.

Примеры 3.14.Какие из ниже перечисленных формул являются, а какие не являются кнф:

1) ;2) ; 3) ;4) ;5)

Решение.

Третья формула не является КНФ, так как отрицание в первой скобке расположено не над переменной, а над сложным выражением (высказыванием). Четвертая формула не являются КНФ, так как не является конъюнкцией элементарных дизъюнкций. Все остальные примеры являются элементарными конъюнкциями.

2)Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) - эта формула, имеющая вид дизъюнкций элементарных конъюнкций.

Элементарными конъюнкциями называются конъюнкции переменных, в которых каждая переменная или ее отрицание встречается не более одного раза.

Например,  - элементарные (простые) конъюнкты,

- дизъюнкция двух элементарных конъюнкций, то есть дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ).

Замечание:

Примеры 3.15.Какие из ниже перечисленных формул являются, а какие не являются днф:

1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;6) ;7) .

Решение.

Третья формула не является ДНФ, так как в ДНФ перемножаются лишь переменные или их отрицания. Шестая не является ДНФ, так как в ДНФ отрицание может располагаться лишь над переменными ,а здесь отрицание располагается над логической операцией. Остальные формулы являются дизъюнктивными нормальными формами. При этом седьмая формула является одновременно ДНФ и КНФ.

Алгоритм приведения формулы к ДНФ:

1. Выразить все логические операции в формуле через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание.

2. Используя, законы де Моргана, переносят все отрицания к переменным и сокращают двойные отрицания.

3. Используют закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции, преобразуют формулу так, чтобы все конъюнкции встречались раньше дизъюнкции.

Алгоритм приведения к КНФ аналогичен, только на шаге 3 делают так, чтобы все дизъюнкции встречались раньше конъюнкции.

Пример 3.16. Привести к KНФ формулу: а) ; б) .

Решение.

а) Приведём к КНФ данную формулу  для этого уберем отрицания не элементарных дизъюнкций используя закон де Моргана: - КНФ;

б) Для этого заменим на , используя формулу ,затем применяем закон де Моргана и закон дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции:

Пример 3.17. Привести к ДНФ формулу: а) ; б) .

Решение.

а) Приведём к ДНФ данную формулу  для этого уберем отрицания не элементарных конъюнкций используя закон де Моргана и закон дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции: ДНФ;

б) Учитывая,что и имеем:

Очевидно, что каждая формула имеет бесконечно много ДНФ и КНФ.

Пример 3.18. Найдем несколько ДНФ для формулы .

Решение.

1)

3) ;

4)  и так далее.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) - это КНФ, удовлетворяющая четырем условиям:

1) различны все члены конъюнкции;

2) различны все члены каждой дизъюнкции;

3) ни одна дизъюнкция не содержит переменную вместе с отрицанием этой переменной;

4) каждая дизъюнкция содержит все переменные, входящие в исходную формулу.