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Вуз:

Первый московский государственный медицинский университет им. И.М. Сеченова

Предмет:

Государственная Итоговая Аттестация

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книги / 10 класс. Математика. Диагностическая работа 1. (вар. 0201-0216) 21.05.2013г (с отв)

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Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ 10 ɤɥɚɫɫȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0209-0211 ( ɛɟɡ ɥɨɝɚɪɢɮɦɨɜ)

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚɤɥɚɫɫ10ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0209-0211 ( ɛɟɡ ɥɨɝɚɪɢɮɦɨɜ)

10)x

Ɍɚɧɝɟɧɫ ɭɝɥɚ C

ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ

ABC

ɪɚɜɟɧ

, D — ɨɬɥɢɱɧɚɹ ɨɬ

A ɬɨɱɤɚ

Ɋɟɲɢɬɟ ɫɢɫɬɟɦɭ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ ®

ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɟɣ,

ɩɨɫɬɪɨɟɧɧɵɯ ɧɚ

ɫɬɨɪɨɧɚɯ AB

ɤɚɤ ɧɚ

ɞɢɚɦɟɬɪɚɯ ɂɡɜɟɫɬɧɨ, ɱɬɨ DB : DC

4 :

9. ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɝɨɥ A.

Ɋɟɲɟɧ

ɟ.

Ɋɟɲɟɧ ɟ.

Ɍɨɱɤɚ D ɥɟɠɢɬ ɧɚ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɫ ɞɢɚɦɟɬɪɨɦ AB, ɩɨɷɬɨɦɭ ADB

90 . Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ,

Ɋɟɲɢɦ ɩɟɪɜɨɟ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ:

10 .

ADC

90 . ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɬɨɱɤɚ D ɥɟɠɢɬ ɧɚ ɩɪɹɦɨɣ BC.

10 )(x

ȼɨɡɦɨɠɧɵ ɞɜɚ ɫɥɭɱɚɹ: ɬɨɱɤɚ

ɥɟɠɢɬ

ɥɢɛɨ

ɧɚ

ɨɬɪɟɡɤɟ BC (ɪɢɫ. 1),

ɥɢɛɨ ɧɚ

Ɋɟɲɢɦ ɜɬɨɪɨɟ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨɁɚɦɟɧɢɦ.

ɜ ɱɢɫɥɢɬɟɥɟ ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɪɚɡɧɨɫɬɶɸ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ

. Ɂɧɚɤ

ɩɪɨɞɨɥɠɟɧɢɢ ɨɬɪɟɡɤɚ BC ɡɚ ɬɨɱɤɭ B (ɪɢɫ. 2). Ɍɨɱɤɚ D ɧɟ ɦɨɠɟɬ ɥɟɠɚɬɶ ɧɚ ɩɪɨɞɨɥɠɟɧɢɢ

ɨɬɪɟɡɤɚ BC ɡɚ ɬɨɱɤɭ C, ɬɚɤ ɤɚɤ ɭɝɨɥ ACB — ɨɫɬɪɵɣ.

ɱɢɫɥɢɬɟɥɹ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɫɨɯɪɚɧɹɟɬɫɹ.

(x2 2x 1)2

(x2 2x 3)(x2 2x 1)

(x 1)(x 3)(x 1)2

1 ɢɥɢ

ɉɪɢɦɟɧɹɹ ɦɟɬɨɞ ɢɧɬɟɪɜɚɥɨɜ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ:

ɍɱɢɬɵɜɚɹ, ɱɬɨ 3

10, ɧɚɯɨɞɢɦ ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ:

Ɉɬɜɟɬ: [ 1; 0); 1; [3;

10 .

10 ].

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ȼɚɥɥɵ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɜɟɪɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ

ɩɨɥɭɱɟɧɵ ɜɟɪɧɵɟ

ɨɬɜɟɬɵ

ɨɛɨɢɯ

ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚɯ

ɫɢɫɬɟɦɵ

Ɋɢɫ. 1

Ɋɢɫ. 2

ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ

ɩɨɥɭɱɟɧ

ɜɟɪɧɵɣ

ɨɬɜɟɬ

ɨɞɧɨɦ

ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɟ

ɫɢɫɬɟɦɵ

ɉɨɥɨɠɢɦ DB

4t, DC

9t. ɂɡ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɵɯ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ ADC ɢ

ABD ɧɚɯɨɞɢɦ,

ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ

ɱɬɨ

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

9t 2

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ ɛ ɥɥ

DCtgACB

6t,

36t2 81t2

13 ,

ȼ ɩɟɪɜɨɦ ɫɥɭɱɚɟ BAC

36t2 16t2

13.

90 , ɬɚɤ ɤɚɤ

AB2

AC2

13 (9t2

4t2)

169t2

BC2.

ȼɨ ɜɬɨɪɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɩɨ ɬɟɨɪɟɦɟ

ɫɢɧɭɫɨɜ

sin

C ; ɬɚɤ ɤɚɤ tg C

2 , ɬɨ

, ɩɨɷɬɨɦɭ sin A

sin C

ɨɬɤɭɞɚ ɧɚɯɨɞɢɦ, ɱɬɨ sin A

5 .

2t 13

Ɉɬɜɟɬ 90q ɢɥɢ arcsin 5 .

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ 10 ɤɥɚɫɫ ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0209-0211 ( ɛɟɡ ɥɨɝɚɪɢɮɦɨɜ)

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ȼɚɥɥɵ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧɵ

ɜɫɟ

ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ

ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɟ ɤɨɧɮɢɝɭɪɚɰɢɢ, ɢ ɩɨɥɭɱɟɧ

ɩɪɚɜɢɥɶɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧɚ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɚ ɜɨɡɦɨɠɧɚɹ ɤɨɧɮɢɝɭɪɚɰɢɹ,

ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɩɨɥɭɱɟɧɨ

ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɫɤɨɦɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧɚ

ɯɨɬɹ

ɛɵ ɨɞɧɚ

ɜɨɡɦɨɠɧɚɹ

ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɚɹ ɤɨɧɮɢɝɭɪɚɰɢɹ,

ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ

ɩɨɥɭɱɟɧɨ

ɡɧɚɱɟɧɢɟ

ɢɫɤɨɦɨɣ

ɜɟɥɢɱɢɧɵ,

ɧɟɩɪɚɜɢɥɶɧɨɟ

ɢɡ-ɡɚ

ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɨɲɢɛɤɢ

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ

ɛ ɥɥ

ɇɚɣɞɢɬɟ ɜɫɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ,

ɩɪɢ ɤɚɠɞɨɦ ɢɡ ɤɨɬɨɪɵɯ ɫɢɫɬɟɦɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ

x2 y2

2a(x y)

2a2 a,

8a2 9a

® x2 y2 4a(x y)

ɢɦɟɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ.

Ɋɟɲɟɧ

Ɂɚɩɢɲɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɜɢɞɟ

(x a)2 (y a)2 a,

® (x 2a)2 (y 2a)2 9a.

ȿɫɥɢ a 0, ɬɨ ɫɢɫɬɟɦɚ ɧɟ ɢɦɟɟɬ ɪɟɲɟɧɢɣ. ɉɭɫɬɶ a

0. ɋɢɫɬɟɦɚ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɜɢɞ

® x

ɢ ɟɺ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɚɪɚ (0; 0), ɬɨ ɟɫɬɶ ɩɪɢ a

0 ɫɢɫɬɟɦɚ ɢɦɟɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ

ɪɟɲɟɧɢɟ.

ɉɪɢ a

ɝɪɚɮɢɤɨɦ

ɤɚɠɞɨɝɨ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ

ɫɢɫɬɟɦɵ

ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɶ: ɩɟɪɜɚɹ

ɫ ɰɟɧɬɪɨɦ ɜ ɬɨɱɤɟ O1(a; a) ɢ ɪɚɞɢɭɫɨɦ r1

a; ɜɬɨɪɚɹ ɫ ɰɟɧɬɪɨɦ ɜ ɬɨɱɤɟ O2(

2a; 2a) ɢ

ɪɚɞɢɭɫɨɦ r2

3 a. Ɂɚɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɫɢɫɬɟɦɚ ɢɦɟɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ

ɬɨɝɞɚ,

ɤɨɝɞɚ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɢɦɟɸɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɭɸ ɨɛɳɭɸ ɬɨɱɤɭ ɬɨ ɟɫɬɶ ɤɚɫɚɸɬɫɹ ɞɪɭɝ

ɞɪɭɝɚ.

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚɤɥɚɫɫ10ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0209-0211 ( ɛɟɡ ɥɨɝɚɪɢɮɦɨɜ)

ɗɬɨ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɜ ɞɜɭɯ ɫɥɭɱɚɹɯ: ɤɨɝɞɚ O1O2

r1 r2 ɢɥɢ O1O2

r1 r2

ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ

3 a ɩɪɢ ɥɸɛɵɯ a 0.

ɂɦɟɟɦ

O O

( 2a a)2 (2a a)2

a 10.

Ɋɟɲɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ

3 a

10 ɢ 3

a a 10 ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ a

ɂɡ ɩɟɪɜɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ a

1, 6; ɢɡ ɜɬɨɪɨɝɨ ɧɚɯɨɞɢɦ a

0, 4.

: 0, 0,4Ɉɬɜɟɬ

ɢ 1,6.

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɩɪɚɜɢɥɶɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɜɟɪɧɨɝɨ ɪɚɫɫɭɠɞɟɧɢɹ ɩɨɥɭɱɟɧɵ ɞɜɚ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɢɡ ɬɪɺɯ. ɋɥɭɱɚɢ

=0 ɢ<0

ɧɟ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɵ

ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ

ɜɟɪɧɨɝɨ

ɪɚɫɫɭɠɞɟɧɢɹ

ɩɨɥɭɱɟɧɵ ɞɜɚ

ɡɧɚɱɟɧɢɹ

ɢɡ

ɬɪɺɯ.

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɢɧ ɢɡ ɫɥɭɱɚɟɜ ɤɚɫɚɧɢɹ

ȼɟɪɧɨ ɧɚɣɞɟɧɨ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɧɨ ɡɧɚɱɟɧɢɟ

ɢɡ ɬɪɺɯ

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ

ɛ ɥɥ

r2 r1,

Ȼɚɥɥɵ

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ 10 ɤɥɚɫɫ ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0209-0211 ( ɛɟɡ ɥɨɝɚɪɢɮɦɨɜ)

ɋɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɬɪɺɯ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɜ

ɪɚɡɚ ɛɨɥɶɲɟ, ɱɟɦ

ɫɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɛɪɚɬɧɵɯ ɱɢɫɟɥ. ɇɚɣɞɢɬɟ ɷɬɢ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ.

Ɋɟɲɟɧ

ɇɚɡɨɜɟɦ ɱɢɫɥɚ a,

b, c. ɉɭɫɬɶ ɞɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɫɬɢ a

ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɢ ɩɪɨɜɟɞɟɦ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ:

a b c

bc ac ab

; a b c

;

abc

Ɍɨɝɞɚ ab

ȼɨɡɦɨɠɧɵ ɜɚɪɢɚɧɬɵ:

1) a

1, b

2) a

1, b

3) a

1, b

ȼ ɫɥɭɱɚɟ a

1, b

1ɢɡ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ a

abc

ɩɨɥɭɱɚɟɦ

2 c

2c 1

; 11c2 48c 35 0.

ɇɚɬɭɪɚɥɶɧɵɣ ɤɨɪɟɧɶ c

ȿɫɥɢ a

1, b

2, ɬɨ 3

;

22c2

39c

0. ɇɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɤɨɪɧɟɣ ɧɟɬ.

ȿɫɥɢ a

1, b

3, ɬɨ 4

;

33c2

105

0. ɇɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɤɨɪɧɟɣ ɧɟɬ.

1 Ɉɬɜɟɬ

ɢ 5.

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ȼɚɥɥɵ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɩɪɚɜɢɥɶɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

Ⱦɨɤɚɡɚɧɨ,

ɱɬɨ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɱɢɫɥɨ ɪɚɜɧɨ 1,

ɚ ɜɬɨɪɨɟ ɱɢɫɥɨ ɧɟ ɛɨɥɶɲɟ 3.

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɡɚɤɨɧɱɟɧɨ

Ⱦɨɤɚɡɚɧɨ,

ɱɬɨ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɱɢɫɥɨ ɪɚɜɧɨ 1,

ɢ ɩɨɞɛɨɪɨɦ ɧɚɣɞɟɧɵ ɞɜɚ ɞɪɭɝɢɯ

ɱɢɫɥɚ

Ⱦɨɤɚɡɚɧɨ, ɱɬɨ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɱɢɫɥɨ ɪɚɜɧɨ 1

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ ɛ ɥɥ

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚɤɥɚɫɫ10ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0210-0212 ( ɛɟɡ ɥɨɝɚɪɢɮɦɨɜ)

Ʉɪɢɬɟɪɢɢ ɨ ɟɧɢɜɚɧɢɹ ɡɚɞɚɧɢɣ ɫ ɪɚɡɜɺɪɧɭɬɵɦ ɨɬɜɟɬɨɦ

ɚ) Ɋɟɲɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ

cosx

cos

ɛ) ɇɚɣɞɢɬɟ

ɜɫɟ

ɤɨɪɧɢ

ɷɬɨɝɨ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ,

ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɟ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɭ

2ʌ;

7ʌ

Ɋɟɲɟɧ

ɚ) ɋɞɟɥɚɟɦ ɡɚɦɟɧɭ t

. ɉɨɥɭɱɢɦ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ t:

cosx

t2 3t 2 0; (t 1)(t 2)

1ɢɥɢ t

cosx

1ɢɥɢ cosx

ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, x 2ʌn ɢɥɢ x

r ʌ 2ʌn, n Z.

ɛ) ɉɪɢ ɩɨɦɨɳɢ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɨɬɛɟɪɺɦ ɤɨɪɧɢ, ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɟ ɨɬɪɟɡɤɭ 2ʌ; 7ʌ : x 7ʌ ; x 2ʌ.

Ɉɬɜɟɬ: ɚ) x 2ʌn, n ]; x r ʌ 2ʌn, n ]; ɛ) 2ʌ;				7ʌ	.

	3		3
	ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ					Ȼɚɥɥɵ
Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧɵ ɜɟɪɧɵɟ ɨɬɜɟɬɵ ɜ ɩ.			) ɢ ɜ ɩ. ɛ)			2
Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɜɟɪɧɵɣ ɨɬɜɟɬ ɜ ɩ.)			, ɧɨ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɢɟ ɨɬɛɨɪɚ ɤɨɪɧɟɣ
ɜ ɩ. ɛ) ɧɟ.	ɩɪɢɜɟɞɟɧɨ, ɢɥɢ ɡɚɞɚɱɚ ɜ ɩ	) ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɫɜɟɞɟɧɚ ɤ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɸ				1
ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɯ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɛɟɡ ɩɪɟɞɴɹɜɥɟɧɢɹ ɜɟɪɧɨɝɨ
ɨɬɜɟɬɚ, ɚ ɜ ɩ. ɛ) ɩɪɢɜɟɞɺɧ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɵɣ ɨɬɛɨɪ ɤɨɪɧɟɣ
Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ						0
				Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ ɛ ɥɥ		2

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ 10 ɤɥɚɫɫ ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0210-0212 ( ɛɟɡ ɥɨɝɚɪɢɮɦɨɜ)

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚɤɥɚɫɫ10ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0210-0212 ( ɛɟɡ ɥɨɝɚɪɢɮɦɨɜ)

Ɉɫɧɨɜɚɧɢɟ ɩɪɹɦɨɣ ɩɪɢɡɦɵ ABCDA1B1C1D1 — ɪɨɦɛ ABCD ɫ ɭɝɥɨɦ A, ɪɚɜɧɵɦ

15)x 2

15 d 0,

120q, ɢ ɫɬɨɪɨɧɨɣ

ɪɚɜɧɨɣ 4. ɇɚɣɞɢɬɟ

ɜɵɫɨɬɭ ɩɪɢɡɦɵ,

ɟɫɥɢ

ɭɝɨɥ ɦɟɠɞɭ

ɩɥɨɫɤɨɫɬɹɦɢ ADC1 ɢ ABC ɪɚɜɟɧ 60q.

Ɋɟɲɢɬɟ ɫɢɫɬɟɦɭ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ ®

2 x2

4x 2

d 0.

Ɋɟɲɟɧ

ɟ.

3 x

ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɩɪɢɡɦɚ ɩɪɹɦɚɹ,

ɬɨ ɛɨɤɨɜɨɟ ɪɟɛɪɨ CC1 ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɨ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ABC, ɢ

Ɋɟɲɟɧ ɟ.

ɩɨɷɬɨɦɭ CC1 — ɜɵɫɨɬɚ ɩɪɢɡɦɵ, CC1 A (ABC). ɉɭɫɬɶ F ɫɟɪɟɞɢɧɚ ɪɟɛɪɚ AD ɬɨɝɞɚ CF

Ɋɟɲɢɦ ɩɟɪɜɨɟ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ:

ɦɟɞɢɚɧɚ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɝɨ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ ACD ɢ, ɡɧɚɱɢɬ, CF ɟɝɨ ɜɵɫɨɬɚ, ɩɪɢɱɺɦ ɋF

2 3.

15 )(x 2) d 0; 2 d x d

ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ CF ɩɪɨɟɤɰɢɹ ɋ1F ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɶ ABC

ɢ CF A AD, ɬɨ C1F A AD ɩɨ ɬɟɨɪɟɦɟ

15 .

ɨ ɬɪɺɯ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɚɯ. Ɉɬɫɸɞɚ ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ C1FC ɥɢɧɟɣɧɵɣ ɭɝɨɥ ɞɜɭɝɪɚɧɧɨɝɨ

Ɋɟɲɢɦ ɜɬɨɪɨɟ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ. Ɂɚɦɟɧɢɦ ɜ ɱɢɫɥɢɬɟɥɟ ɪɚɡɧɨɫɬɶ ɪɚɡɧɨɫɬɶɸ ɤɜɚɞɪɚɬɨɜ. Ɂɧɚɤ

ɭɝɥɚ,

ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɧɨɝɨ ɩɥɨɫɤɨɫɬɹɦɢ ADC1 ɢ ABC. ɂɡ ɭɫɥɨɜɢɹ

C1FC

60q. ɂɡ

ɱɢɫɥɢɬɟɥɹ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɫɨɯɪɚɧɹɟɬɫɹ.

x2 4x

x2 4x 4

x 4 x 2

ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɨɝɨ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ C1CF ɧɚɯɨɞɢɦ CC1

ɋFtg60q

2 3

(

4x 2

)

d 0;

(

)(

)

d 0;

)

d 0.

3 x

(

)(

x 3

ɉɪɢɦɟɧɹɹ ɦɟɬɨɞ ɢɧɬɟɪɜɚɥɨɜ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ: x d 0,

3 x d

ɍɱɢɬɵɜɚɹ, ɱɬɨ 3

10, ɧɚɯɨɞɢɦ ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ

Ɉɬɜɟɬ [ 2; 0]; 2; (3;

2 d x d 0, x 2, 3

x d 15 .

15 ].

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ȼɚɥɥɵ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɜɟɪɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ

ɩɨɥɭɱɟɧɵ

ɜɟɪɧɵɟ

ɨɬɜɟɬɵ ɜ

ɨɛɨɢɯ

ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚɯ

ɫɢɫɬɟɦɵ

ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ

ɩɨɥɭɱɟɧ

ɜɟɪɧɵɣ

ɨɬɜɟɬ

ɨɞɧɨɦ

ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɟ

ɫɢɫɬɟɦɵ

ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ

Ɉɬɜɟɬ: 6.

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ȼɚɥɥɵ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ

ɛ ɥɥ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɜɟɪɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɵɣ ɩɟɪɟɯɨɞ ɤ ɩɥɚɧɢɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɡɚɞɚɱɟ, ɧɨ

ɩɨɥɭɱɟɧ ɧɟɜɟɪɧɵɣ ɨɬɜɟɬ ɢɥɢ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɡɚɤɨɧɱɟɧɨ.

ɂɅɂ

ɉɪɢ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɦ ɨɬɜɟɬɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɨ

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ

ɛ ɥɥ

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ 10 ɤɥɚɫɫ ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0210-0212 ( ɛɟɡ ɥɨɝɚɪɢɮɦɨɜ)

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚɤɥɚɫɫ10ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0210-0212 ( ɛɟɡ ɥɨɝɚɪɢɮɦɨɜ)

Ɍɚɧɝɟɧɫ ɭɝɥɚ C ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ ABC

ɪɚɜɟɧ 3 , D — ɨɬɥɢɱɧɚɹ

ɨɬ

A ɬɨɱɤɚ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧɵ

ɜɫɟ

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

ɢ ɩɨɥɭɱɟɧ

Ȼɚɥɥɵ

ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ

ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɟ

ɤɨɧɮɢɝɭɪɚɰɢɢ,

ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɟɣ,

ɩɨɫɬɪɨɟɧɧɵɯ

ɧɚ

ɫɬɨɪɨɧɚɯ AB

ɤɚɤ ɧɚ

ɩɪɚɜɢɥɶɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

ɞɢɚɦɟɬɪɚɯ. ɂɡɜɟɫɬɧɨ, ɱɬɨ DB : DC

9 : 16. ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɝɨɥ A.

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧɚ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɚ ɜɨɡɦɨɠɧɚɹ ɤɨɧɮɢɝɭɪɚɰɢɹ,

ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɩɨɥɭɱɟɧɨ

Ɋɟɲɟɧ

ɟ.

ɩɨɷɬɨɦɭ ADB

90q.

ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɫɤɨɦɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧɚ

ɯɨɬɹ

ɛɵ

ɨɞɧɚ

ɜɨɡɦɨɠɧɚɹ

ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɚɹ

ɤɨɧɮɢɝɭɪɚɰɢɹ,

Ɍɨɱɤɚ D ɥɟɠɢɬ ɧɚ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɫ ɞɢɚɦɟɬɪɨɦ AB,

Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ

ADC

90q. ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɬɨɱɤɚ D ɥɟɠɢɬ ɧɚ ɩɪɹɦɨɣ BC.

ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ

ɩɨɥɭɱɟɧɨ

ɡɧɚɱɟɧɢɟ

ɢɫɤɨɦɨɣ

ɜɟɥɢɱɢɧɵ,

ɧɟɩɪɚɜɢɥɶɧɨɟ

ɢɡ-ɡɚ

ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɨɲɢɛɤɢ

ȼɨɡɦɨɠɧɵ

ɞɜɚ ɫɥɭɱɚɹ:

ɬɨɱɤɚ

ɥɟɠɢɬ

ɥɢɛɨ

ɧɚ

ɨɬɪɟɡɤɟ

BC (ɪɢɫ. 1),

ɥɢɛɨ ɧɚ

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

ɩɪɨɞɨɥɠɟɧɢɢ ɨɬɪɟɡɤɚ BC ɡɚ ɬɨɱɤɭ B (ɪɢɫ. 2). Ɍɨɱɤɚ D ɧɟ ɦɨɠɟɬ ɥɟɠɚɬɶ ɧɚ ɩɪɨɞɨɥɠɟɧɢɢ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ

ɛ ɥɥ

ɨɬɪɟɡɤɚ BC ɡɚ ɬɨɱɤɭ C, ɬɚɤ ɤɚɤ. ɭɝɨɥ ACB ɨɫɬɪɵɣ.

ɇɚɣɞɢɬɟ

ɜɫɟ

ɡɧɚɱɟɧɢɹ

ɩɪɢ

ɤɚɠɞɨɦ

ɢɡ

ɤɨɬɨɪɵɯ

ɫɢɫɬɟɦɚ

y 4a(x y)

2a,

ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ

° x

ɢɦɟɟɬ ɪɨɜɧɨ ɞɜɚ ɪɟɲɟɧɢɹ.

® x2

8a(x

32a2 18a

Ɋɟɲɟɧ

ɟ.

Ɂɚɩɢɲɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɜɢɞɟ

2a)

2a,

° (x 2a) (y

Ɋɢɫ. 1

Ɋɢɫ. 2

(x 4a)2

4a)2

18a.

ɉɨɥɨɠɢɦ DB t 9 , DC

16t. ɂɡ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɵɯ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ ADC ɢ ABD ɧɚɯɨɞɢɦ,

ȿɫɥɢ a 0, ɬɨ ɫɢɫɬɟɦɚ ɧɟ ɢɦɟɟɬ ɪɟɲɟɧɢɣ. ɉɭɫɬɶ a

0. ɋɢɫɬɟɦɚ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɜɢɞ

ɱɬɨ

16t

° x

DCtgACB

12t,

144t2 256t2

0 ɫɢɫɬɟɦɚ ɢɦɟɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ

20t,

ɢ ɟɺ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɚɪɚ (0; 0), ɬɨ ɟɫɬɶ ɩɪɢ a

ɪɟɲɟɧɢɟ.

ȼ ɩɟɪɜɨɦ ɫɥɭɱɚɟ BAC

144t2 81t2

15t.

ɉɪɢ a ! 0

ɝɪɚɮɢɤɨɦ

ɤɚɠɞɨɝɨ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ

ɫɢɫɬɟɦɵ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɶ: ɩɟɪɜɚɹ

90 , ɬɚɤ ɤɚɤ

AB2

AC2

252

BC2.

ɫ ɰɟɧɬɪɨɦ ɜ ɬɨɱɤɟ O1( 2a; 2a) ɢ ɪɚɞɢɭɫɨɦ r1

2a; ɜɬɨɪɚɹ ɫ ɰɟɧɬɪɨɦ ɜ ɬɨɱɤɟ O2(4a; 4a)

ȼɨ ɜɬɨɪɨɦ

ɫɥɭɱɚɟ ɩɨ

ɬɟɨɪɟɦɟ ɫɢɧɭɫɨɜ

sin A

sin C ;

ɬɚɤ

ɤɚɤ tg C

3, ɬɨ

ɢ ɪɚɞɢɭɫɨɦ r2

2a. Ɂɚɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɫɢɫɬɟɦɚ ɢɦɟɟɬ ɪɨɜɧɨ ɞɜɚ ɪɟɲɟɧɢɹ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ

ɬɨɝɞɚ, ɤɨɝɞɚ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɢɦɟɸɬ ɪɨɜɧɨ ɞɜɟ ɨɛɳɢɟ ɬɨɱɤɢ.

ɩɨɷɬɨɦɭ sin A

sin C

ɨɬɤɭɞɚ ɧɚɯɨɞɢɦ, ɱɬɨ sin A

7 .

5 ,

15t

Ɉɬɜɟɬ 90q

ɢɥɢ arcsin 7 .

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ 10 ɤɥɚɫɫ ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0210-0212 ( ɛɟɡ ɥɨɝɚɪɢɮɦɨɜ)

ɗɬɨ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ, ɬɨɥɶɤɨ		ɟɫɥɢ r2 r1 O1O2 r1 r2,		ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ				2a 3	2a ɩɪɢ
ɥɸɛɵɯ a ! 0. ɂɦɟɟɦ			(4a 2a)2 (4a 2a)2
	O1O2		(4a 2a)2 (4a 2a)2	2a 10.				a 0, 8.
ɉɨɥɭɱɚɟɦ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ 3 2a			2a 2a 10 3 2a	2a, ɨɬɤɭɞɚ 0, 2				a 0, 8.
Ɉɬɜɟɬ 0, 2 a 0, 8.
	ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ							Ȼɚɥɥɵ
Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɩɪɚɜɢɥɶɧɵɣ ɨɬɜɟɬ									4
ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɜɟɪɧɨɝɨ ɪɚɫɫɭɠɞɟɧɢɹ ɩɨɥɭɱɟɧɨ ɜɟɪɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ, ɢɥɢ
ɨɬɥɢɱɚɸɳɟɟɫɹ ɜɟɪɧɨɝɨ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦɢ ɬɨɱɤɚɦɢ. ɋɥɭɱɚɢ =0a					ɢɥɢ <0			ɧɟ	3
ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɵ ɢɥɢ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɵ ɫ ɨɲɢɛɤɨɣ
ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɜɟɪɧɨɝɨ ɪɚɫɫɭɠɞɟɧɢɹ ɩɨɥɭɱɟɧɨ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɨ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɢɡ									2
ɞɜɭɯ ɜ ɞɜɨɣɧɨɦ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɟ ɨɬɜɟɬɚ									2
ɞɜɭɯ ɜ ɞɜɨɣɧɨɦ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɟ ɨɬɜɟɬɚ
ȼɟɪɧɨ	ɩɨɥɭɱɟɧɚ ɯɨɬɹ ɛɵ	ɨɞɧɚ ɝɪɚɧɢɱɧɚɹ ɬɨɱɤɚ ɢɫɤɨɦɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ							1
ɡɧɚɱɟɧɢɣ									1
ɡɧɚɱɟɧɢɣ
Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ									0
				Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ				ɛ ɥɥ	4
C6	ɋɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɱɟɬɵɪɺɯ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɜ					42	ɪɚɡɚ ɛɨɥɶɲɟ, ɱɟɦ
	ɋɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɱɟɬɵɪɺɯ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɜ						ɪɚɡɚ ɛɨɥɶɲɟ, ɱɟɦ

ɫɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɛɪɚɬɧɵɯ ɱɢɫɟɥ. ɇɚɣɞɢɬɟ ɷɬɢ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ.

Ɋɟɲɟɧ ɟ	.								a d b d c d d. Ɍɨɝɞɚ ac d bd
Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɱɢɫɥɚ a, b, c ɢ d. ɉɭɫɬɶ				ɞɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɫɬɢ					a d b d c d d. Ɍɨɝɞɚ ac d bd
ɢ ab d cd.
ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɢ ɩɪɨɜɟɞɟɦ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ:
		a b	c d		42	1	1	1		1	;
			4	17 4							;
			4	17 4		a	b	c		d

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚɤɥɚɫɫ10ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0210-0212 ( ɛɟɡ ɥɨɝɚɪɢɮɦɨɜ)

a b c d

bcd

acd abd abc

;

abcd

bcd acd abd abc

(b d)ac (a c)bd

abcd

a b

c d

a b c d

ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ a d b ɢ c d d, ɩɨɥɭɱɚɟɦ

abcd d

(b d)bd

(a c)bd

bd,

ɨɬɤɭɞɚ ac d

a b

Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ, ɭɱɢɬɵɜɚɹ, ɱɬɨ a d d

b d c, ɧɚɯɨɞɢɦ

abcd

d)ac

(a c)bd

(b d)cd (a c)cd

cd,

ɨɬɤɭɞɚ ab 3.

a b c d

a b c

ȼɨɡɦɨɠɧɵ ɜɚɪɢɚɧɬɵ:

1) a

1, b

1, c 1.

2) a

1, b

1, c

3) a

1, b

2, c

bcd acd abd abc

ȼ ɫɥɭɱɚɟ a

1ɢɡ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ abcd

ɩɨɥɭɱɚɟɦ

3d 1

a b c d

75d

42 0.

d; 17d2

ɇɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɤɨɪɧɟɣ ɧɟɬ.

3 d

ȿɫɥɢ a

1, b

1, c

2, ɬɨ

5d 2

2d; 17d2 37d 42

0. ɇɚɬɭɪɚɥɶɧɵɣ ɤɨɪɟɧɶ

4 d

8d 4

4d; 17d2 d

ȿɫɥɢ a

1, b 2, c

2, ɬɨ

0. ɇɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɤɨɪɧɟɣ ɧɟɬ.

Ɉɬɜɟɬ: 1, 1, 2, 3.

5 d

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ȼɚɥɥɵ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɩɪɚɜɢɥɶɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

Ⱦɨɤɚɡɚɧɨ, ɱɬɨ ɞɜɚ ɧɚɢɦɟɧɶɲɢɯ ɱɢɫɥɚ ɪɚɜɧɵ 1. Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɡɚɤɨɧɱɟɧɨ

Ⱦɨɤɚɡɚɧɨ, ɱɬɨ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɱɢɫɥɨ ɪɚɜɧɨ 1, ɢ ɩɨɞɛɨɪɨɦ ɧɚɣɞɟɧɵ ɬɪɢ ɞɪɭɝɢɯ

ɱɢɫɥɚ

Ⱦɨɤɚɡɚɧɨ, ɱɬɨ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɱɢɫɥɨ ɪɚɜɧɨ 1

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ

ɛ ɥɥ

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ 10 ɤɥɚɫɫ ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0213-0215 ( ɛɟɡ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ)

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚɤɥɚɫɫ10ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0213-0215 ( ɛɟɡ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ)

Ʉɪɢɬɟɪɢɢ ɨ

ɟɧɢɜɚɧɢɹ ɡɚɞɚɧɢɣ ɫ ɪɚɡɜɺɪɧɭɬɵɦ ɨɬɜɟɬɨɦ

Ɉɫɧɨɜɚɧɢɟ ɩɪɹɦɨɣ ɩɪɢɡɦɵ ABCDA1B1C1D1 — ɪɨɦɛ ABCD ɫ ɭɝɥɨɦ A, ɪɚɜɧɵɦ

60q,

ɢ ɫɬɨɪɨɧɨɣ2. ,

ɪɚɜɧɨɣ

ɇɚɣɞɢɬɟ

ɜɵɫɨɬɭ ɩɪɢɡɦɵ,

ɟɫɥɢ

ɭɝɨɥ

ɦɟɠɞɭ

ɚ) Ɋɟɲɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ

ɩɥɨɫɤɨɫɬɹɦɢ A1BC ɢ ABC ɪɚɜɟɧ 30q.

sin x

sinx

Ɋɟɲɟɧ

ɟ.

ɛ)

ɇɚɣɞɢɬɟ

ɜɫɟ

ɤɨɪɧɢ

ɷɬɨɝɨ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ,

ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɟ

ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɭ

ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɩɪɢɡɦɚ ɩɪɹɦɚɹ,

ɬɨ ɥɸɛɚɹ ɩɪɹɦɚɹ, ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɚɹ ɪɟɛɪɭ AA1, ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɚ

5ʌ ;

3ʌ .

ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ ABC. ɉɭɫɬɶ G ɢ F — ɫɟɪɟɞɢɧɵ ɪɺɛɟɪ A1D1 ɢ AD ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ, ɬɨɝɞɚ

Ɋɟɲɟɧ

ɟ.

AA1 ɢ ɩɨɷɬɨɦɭ GF – ɜɵɫɨɬɚ ɩɪɢɡɦɵ ɢ GF A ABC.

ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ BF – ɦɟɞɢɚɧɚ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɝɨ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ ABD, ɬɨ BF – ɟɝɨ ɜɵɫɨɬɚ, ɩɪɢɱɺɦ

ɚ) ɋɞɟɥɚɟɦ ɡɚɦɟɧɭ t

. ɉɨɥɭɱɢɦ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ t:

3. Ɂɧɚɱɢɬ, FB A AD.

Ɉɬɫɸɞɚ FB A BC,

ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ

AD.

ɉɪɹɦɚɹ FB

sinx

t 2

0; (t 1)(t 2)

ɩɪɨɟɤɰɢɹ ɩɪɹɦɨɣ GB ɧɚ ɩɥɨɫɤɨɫɬɶ ABC,

ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, GB A BC ɩɨ ɬɟɨɪɟɦɟ ɨ ɬɪɺɯ

1 .

ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɚɯ. Ɉɬɫɸɞɚ

ɫɥɟɞɭɟɬ,

ɱɬɨ

GBF

ɥɢɧɟɣɧɵɣ ɭɝɨɥ ɞɜɭɝɪɚɧɧɨɝɨ ɭɝɥɚ,

1 ɢɥɢ t

2; sinx

1 ɢɥɢ sinx

ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɧɨɝɨ ɩɥɨɫɤɨɫɬɹɦɢ A1BC ɢ ABC. ɂɡ ɭɫɥɨɜɢɹ

GBF

30q. ɂɡ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɨɝɨ

FBtg30q

ʌ 2ʌn, x

ʌ 2ʌn ɢɥɢ x

5ʌ 2ʌn, n ].

ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ GFB ɧɚɯɨɞɢɦ GF

ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, x

ɛ) ɉɪɢ ɩɨɦɨɳɢ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɨɬɛɟɪɺɦ ɤɨɪɧɢ, ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɟ

ɨɬɪɟɡɤɭ

5ʌ ;

3ʌ

13ʌ

, x

3ʌ .

Ɉɬɜɟɬ: 1.

Ɉɬɜɟɬ

ɚ)

ʌ 2ʌn,

n ];

ʌ 2ʌn, n ]; x

5ʌ 2ʌn, n ];

ɛ) 13ʌ ;

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ȼɚɥɥɵ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɜɟɪɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

3ʌ .

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɵɣ ɩɟɪɟɯɨɞ ɤ ɩɥɚɧɢɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɡɚɞɚɱɟ,

ɧɨ

ɩɨɥɭɱɟɧ ɧɟɜɟɪɧɵɣ ɨɬɜɟɬ ɢɥɢ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɡɚɤɨɧɱɟɧɨ.

ɂɅɂ

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ȼɚɥɥɵ

ɉɪɢ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɦ ɨɬɜɟɬɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɨ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧɵ ɜɟɪɧɵɟ ɨɬɜɟɬɵ ɜ ɩ.

) ɢ ɜ ɩ. ɛ)

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɜɟɪɧɵɣ ɨɬɜɟɬ ɜ ɩ.)

, ɧɨ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɢɟ ɨɬɛɨɪɚ ɤɨɪɧɟɣ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ ɛ ɥɥ

ɜ ɩ ɛ) ɧɟ.

ɩɪɢɜɟɞɟɧɨ, ɢɥɢ ɡɚɞɚɱɚ ɜ ɩ

) ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɫɜɟɞɟɧɚ ɤ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɸ

ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɯ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɛɟɡ ɩɪɟɞɴɹɜɥɟɧɢɹ ɜɟɪɧɨɝɨ

ɨɬɜɟɬɚ, ɚ ɜ ɩ. ɛ) ɩɪɢɜɟɞɺɧ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɵɣ ɨɬɛɨɪ ɤɨɪɧɟɣ

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ

ɛ ɥɥ

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ 10 ɤɥɚɫɫ ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0213-0215 ( ɛɟɡ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ)

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚɤɥɚɫɫ10ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0213-0215 ( ɛɟɡ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ)

1 (6x x

5) d 2,

Ɍɚɧɝɟɧɫ ɭɝɥɚ C

ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ

ABC

ɪɚɜɟɧ

, D — ɨɬɥɢɱɧɚɹ ɨɬ

A ɬɨɱɤɚ

° log

Ɋɟɲɢɬɟ ɫɢɫɬɟɦɭ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ ®

ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɟɣ,

ɤɚɤ ɧɚ

° x 3 x x t 0.

ɩɨɫɬɪɨɟɧɧɵɯ ɧɚ ɫɬɨɪɨɧɚɯ AB

Ɋɟɲɟɧ

ɟ.

ɞɢɚɦɟɬɪɚɯ ɂɡɜɟɫɬɧɨ, ɱɬɨ DB : DC

4 :

9. ɇɚɣɞɢɬɟ ɭɝɨɥ A.

Ɋɟɲɟɧ

ɟ.

Ɋɟɲɢɦ ɩɟɪɜɨɟ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ. Ɉɧɨ ɢɦɟɟɬ ɫɦɵɫɥ ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɹɯ

Ɍɨɱɤɚ D ɥɟɠɢɬ ɧɚ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɫ ɞɢɚɦɟɬɪɨɦ AB, ɩɨɷɬɨɦɭ ADB

90 . Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ,

! 0,

ADC

90 . ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, ɬɨɱɤɚ D ɥɟɠɢɬ ɧɚ ɩɪɹɦɨɣ BC.

° x

® x

1 z

ȼɨɡɦɨɠɧɵ ɞɜɚ ɫɥɭɱɚɹ: ɬɨɱɤɚ

ɥɟɠɢɬ

ɥɢɛɨ

ɧɚ

ɨɬɪɟɡɤɟ BC (ɪɢɫ. 1),

ɥɢɛɨ ɧɚ

ɨɬɤɭɞɚ1 x 5.

5 ! 0,

ɩɪɨɞɨɥɠɟɧɢɢ ɨɬɪɟɡɤɚ BC ɡɚ ɬɨɱɤɭ B (ɪɢɫ. 2). Ɍɨɱɤɚ D ɧɟ ɦɨɠɟɬ ɥɟɠɚɬɶ ɧɚ ɩɪɨɞɨɥɠɟɧɢɢ

¯ 6x x

ɨɬɪɟɡɤɚ BC ɡɚ ɬɨɱɤɭ C, ɬɚɤ ɤɚɤ ɭɝɨɥ ACB — ɨɫɬɪɵɣ.

ɉɪɢ x ! 1ɨɫɧɨɜɚɧɢɟ ɥɨɝɚɪɢɮɦɚ

x 1 ɛɨɥɶɲɟ ɟɞɢɧɢɰɵ. ɉɨɥɭɱɚɟɦ

6x x2 5 d x

1; x2 5x

6 t 0;

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɩɟɪɜɨɝɨ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚ:

x d 2 ɢɥɢ x t 3.

x d 2 ɢɥɢ 3 d x 5.

Ɋɟɲɢɦ ɜɬɨɪɨɟ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ.

ɉɪɢ 1 x d 2 ɩɨɥɭɱɚɟɦ

13 d x d 1

x2 (3 x) d 0;

x 3 d 0;

13 .

Ɋɢɫ. 1

Ɋɢɫ. 2

ɉɪɢ 3 d x 5 ɩɨɥɭɱɚɟɦ x2 x 3 d 0. Ɋɟɲɟɧɢɣ ɧɟɬ.

13 1.

ɉɨɥɨɠɢɦ DB

4t, DC

9t. ɂɡ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɵɯ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɨɜ ADC ɢ

ABD ɧɚɯɨɞɢɦ,

ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ 1

13 1 2, ɧɚɯɨɞɢɦ ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɢɫɬɟɦɵ:1 x d

ɱɬɨ

9t 2

DCtgACB

6t,

Ɉɬɜɟɬ

13 1 .

36t

81t

13 ,

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ȼɚɥɥɵ

ȼ ɩɟɪɜɨɦ ɫɥɭɱɚɟ BAC

36t2

16t2

13.

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɜɟɪɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

90 , ɬɚɤ ɤɚɤ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧɵ ɜɟɪɧɵɟ ɨɬɜɟɬɵ ɜ ɨɛɨɢɯ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚɯ ɫɢɫɬɟɦɵ

AB2 AC2

13 9t2 4t2

)

169t2

BC2.

ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ

(

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɜɟɪɧɵɣ ɨɬɜɟɬ ɜ ɨɞɧɨɦ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɟ ɫɢɫɬɟɦɵ

ȼɨ ɜɬɨɪɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɩɨ ɬɟɨɪɟɦɟ

ɫɢɧɭɫɨɜ

sin A

sin C ; ɬɚɤ ɤɚɤ tg C

2 , ɬɨ

ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜ

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

, ɩɨɷɬɨɦɭ sin A

sin C

ɨɬɤɭɞɚ ɧɚɯɨɞɢɦ, ɱɬɨ sin A

5 .

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ ɛ ɥɥ

2t 13

Ɉɬɜɟɬ 90q ɢɥɢ arcsin 5 .

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ 10 ɤɥɚɫɫ ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0213-0215 ( ɛɟɡ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ)

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚɤɥɚɫɫ10ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0213-0215 ( ɛɟɡ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ)

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ȼɚɥɥɵ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧɵ

ɜɫɟ

ɜɨɡɦɨɠɧɵɟ

ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɟ ɤɨɧɮɢɝɭɪɚɰɢɢ, ɢ ɩɨɥɭɱɟɧ

ɩɪɚɜɢɥɶɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧɚ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɚ ɜɨɡɦɨɠɧɚɹ ɤɨɧɮɢɝɭɪɚɰɢɹ,

ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ ɩɨɥɭɱɟɧɨ

ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɢɫɤɨɦɨɣ ɜɟɥɢɱɢɧɵ

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧɚ

ɯɨɬɹ

ɛɵ

ɨɞɧɚ

ɜɨɡɦɨɠɧɚɹ

ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɚɹ

ɤɨɧɮɢɝɭɪɚɰɢɹ,

ɜ ɤɨɬɨɪɨɣ

ɩɨɥɭɱɟɧɨ

ɡɧɚɱɟɧɢɟ

ɢɫɤɨɦɨɣ

ɜɟɥɢɱɢɧɵ,

ɧɟɩɪɚɜɢɥɶɧɨɟ

ɢɡ-ɡɚ

ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɣ ɨɲɢɛɤɢ

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ

ɛ ɥɥ

ɇɚɣɞɢɬɟ ɜɫɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ,

ɩɪɢ ɤɚɠɞɨɦ ɢɡ ɤɨɬɨɪɵɯ ɫɢɫɬɟɦɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ

ɗɬɨ ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɜ ɞɜɭɯ ɫɥɭɱɚɹɯ: ɤɨɝɞɚ O1O2

r1 r2 ɢɥɢ O1O2

r1 r2

r2 r1,

ɩɨɫɤɨɥɶɤɭ

a 3

a ɩɪɢ ɥɸɛɵɯ a !

ɂɦɟɟɦ

y 2a(x y) 2a a,

° x

( 2a a)2 (2a a)2

4a(x y)

8a2

O1O2

a 10.

Ɋɟɲɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ

ɢɦɟɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ.

3 a

a 10 ɢ 3

a 10 ɩɪɢ ɭɫɥɨɜɢɢ a ! 0.

Ɋɟɲɟɧ

ɟ.

ɂɡ ɩɟɪɜɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ a

1, 6; ɢɡ ɜɬɨɪɨɝɨ ɧɚɯɨɞɢɦ a

0, 4.

Ɂɚɩɢɲɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫɢɫɬɟɦɵ ɜ ɜɢɞɟ

: 0,

0,4Ɉɬɜɟɬ

ɢ 1,6.

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ȼɚɥɥɵ

° (x a)

2a)2

9a.

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɩɪɚɜɢɥɶɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɜɟɪɧɨɝɨ ɪɚɫɫɭɠɞɟɧɢɹ ɩɨɥɭɱɟɧɵ ɞɜɚ ɡɧɚɱɟɧɢɹ

ɢɡ ɬɪɺɯ. ɋɥɭɱɚɢ

ȿɫɥɢ a 0, ɬɨ ɫɢɫɬɟɦɚ ɧɟ ɢɦɟɟɬ ɪɟɲɟɧɢɣ. ɉɭɫɬɶ a

0. ɋɢɫɬɟɦɚ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɜɢɞ

=0 ɢ<0

ɧɟ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɵ

ɋ ɩɨɦɨɳɶɸ ɜɟɪɧɨɝɨ

ɪɚɫɫɭɠɞɟɧɢɹ

ɩɨɥɭɱɟɧɵ ɞɜɚ

ɡɧɚɱɟɧɢɹ

ɢɡ

ɬɪɺɯ.

° x

Ɋɚɫɫɦɨɬɪɟɧ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɢɧ ɢɡ ɫɥɭɱɚɟɜ ɤɚɫɚɧɢɹ

ȼɟɪɧɨ ɧɚɣɞɟɧɨ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɧɨ ɡɧɚɱɟɧɢɟ

ɢɡ ɬɪɺɯ

ɢ ɟɺ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɚɪɚ (0; 0), ɬɨ ɟɫɬɶ ɩɪɢ a

0 ɫɢɫɬɟɦɚ ɢɦɟɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

ɪɟɲɟɧɢɟ.

ɉɪɢ a ! 0

ɝɪɚɮɢɤɨɦ

ɤɚɠɞɨɝɨ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ

ɫɢɫɬɟɦɵ

ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɶ:

ɩɟɪɜɚɹ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ

ɛ ɥɥ

ɫ ɰɟɧɬɪɨɦ ɜ ɬɨɱɤɟ O1(a; a) ɢ ɪɚɞɢɭɫɨɦ r1

a; ɜɬɨɪɚɹ ɫ ɰɟɧɬɪɨɦ ɜ ɬɨɱɤɟ O2( 2a; 2a) ɢ

ɪɚɞɢɭɫɨɦ r2

3 a. Ɂɚɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɫɢɫɬɟɦɚ ɢɦɟɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ

ɋɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɬɪɺɯ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɜ

35 ɪɚɡɚ ɛɨɥɶɲɟ,

ɱɟɦ

ɬɨɝɞɚ,

ɤɨɝɞɚ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɢɦɟɸɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɭɸ ɨɛɳɭɸ ɬɨɱɤɭ ɬɨ ɟɫɬɶ ɤɚɫɚɸɬɫɹ ɞɪɭɝ

ɞɪɭɝɚ.

ɫɪɟɞɧɟɟ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɟɫɤɨɟ ɨɛɪɚɬɧɵɯ ɱɢɫɟɥ. ɇɚɣɞɢɬɟ ɷɬɢ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɟ ɱɢɫɥɚ.

Ɋɟɲɟɧ ɟ.

ɉɭɫɬɶ ɞɥɹ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɫɬɢ a d b d c.

ɇɚɡɨɜɟɦ ɱɢɫɥɚ a, b, c.

ɋɨɫɬɚɜɢɦ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɢ ɩɪɨɜɟɞɟɦ ɩɪɟɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ:

a b c

35 a

c ; a b c 35 bc ac ab;

abc

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚ 10 ɤɥɚɫɫ ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

abc 35 11

Ɍɨɝɞɚ ab d 35 4. 11

ȼɨɡɦɨɠɧɵ ɜɚɪɢɚɧɬɵ:

0213-0215 ( ɛɟɡ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ)
bc ac ab d 35		bc ac c2
a b c		a b c
	11

35c.

1) a

1, b

2) a

1, b

3) a

1, b

bc ac ab

ȼ ɫɥɭɱɚɟ a

1, b 1ɢɡ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ a b c

ɩɨɥɭɱɚɟɦ

2c 1

abc

2 c

; 11c2 48c 35 0.

ɇɚɬɭɪɚɥɶɧɵɣ ɤɨɪɟɧɶ c 5.

3c 2

ȿɫɥɢ a

1, b

2, ɬɨ 3 c

39c

70 0. ɇɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɤɨɪɧɟɣ ɧɟɬ.

; 22c

ȿɫɥɢ a

1, b

3, ɬɨ 4 c

; 33c2 8c 105 0. ɇɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɤɨɪɧɟɣ ɧɟɬ.

1 Ɉɬɜɟɬ

ɢ 5.

ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ

Ȼɚɥɥɵ

Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɩɪɚɜɢɥɶɧɵɣ ɨɬɜɟɬ

Ⱦɨɤɚɡɚɧɨ,

ɱɬɨ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɱɢɫɥɨ ɪɚɜɧɨ 1, ɚ ɜɬɨɪɨɟ ɱɢɫɥɨ ɧɟ ɛɨɥɶɲɟ 3.

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɡɚɤɨɧɱɟɧɨ

Ⱦɨɤɚɡɚɧɨ,

ɱɬɨ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɱɢɫɥɨ ɪɚɜɧɨ 1,

ɢ ɩɨɞɛɨɪɨɦ ɧɚɣɞɟɧɵ ɞɜɚ ɞɪɭɝɢɯ

ɱɢɫɥɚ

Ⱦɨɤɚɡɚɧɨ, ɱɬɨ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɱɢɫɥɨ ɪɚɜɧɨ 1

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ

Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ ɛ ɥɥ

Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚɤɥɚɫɫ10ȼɚɪɢɚɧɬ ɆȺ

0214-0216 ( ɛɟɡ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ)

Ʉɪɢɬɟɪɢɢ ɨ ɟɧɢɜɚɧɢɹ ɡɚɞɚɧɢɣ ɫ ɪɚɡɜɺɪɧɭɬɵɦ ɨɬɜɟɬɨɦ

ɚ) Ɋɟɲɢɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ

cosx

cos

ɛ) ɇɚɣɞɢɬɟ

ɜɫɟ

ɤɨɪɧɢ

ɷɬɨɝɨ

ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ,

ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɟ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɭ

2ʌ;

7ʌ

Ɋɟɲɟɧ

ɚ) ɋɞɟɥɚɟɦ ɡɚɦɟɧɭ t

. ɉɨɥɭɱɢɦ ɤɜɚɞɪɚɬɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ t:

cosx

t2 3t 2 0; (t 1)(t 2)

1ɢɥɢ t

cosx

1ɢɥɢ cosx

ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ, x 2ʌn ɢɥɢ x

r ʌ 2ʌn, n Z.

ɛ) ɉɪɢ ɩɨɦɨɳɢ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɨɤɪɭɠɧɨɫɬɢ ɨɬɛɟɪɺɦ ɤɨɪɧɢ, ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɟ ɨɬɪɟɡɤɭ 2ʌ; 7ʌ : x 7ʌ ; x 2ʌ.

Ɉɬɜɟɬ: ɚ) x 2ʌn, n ]; x r ʌ 2ʌn, n ]; ɛ) 2ʌ;				7ʌ	.

	3		3
	ɋɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɤɪɢɬɟɪɢɹ					Ȼɚɥɥɵ
Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧɵ ɜɟɪɧɵɟ ɨɬɜɟɬɵ ɜ ɩ.			) ɢ ɜ ɩ. ɛ)			2
Ɉɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɩɨɥɭɱɟɧ ɜɟɪɧɵɣ ɨɬɜɟɬ ɜ ɩ.)			, ɧɨ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɢɟ ɨɬɛɨɪɚ ɤɨɪɧɟɣ
ɜ ɩ. ɛ) ɧɟ.	ɩɪɢɜɟɞɟɧɨ, ɢɥɢ ɡɚɞɚɱɚ ɜ ɩ	) ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɨ ɫɜɟɞɟɧɚ ɤ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɸ				1
ɩɪɨɫɬɟɣɲɢɯ ɬɪɢɝɨɧɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɛɟɡ ɩɪɟɞɴɹɜɥɟɧɢɹ ɜɟɪɧɨɝɨ
ɨɬɜɟɬɚ, ɚ ɜ ɩ. ɛ) ɩɪɢɜɟɞɺɧ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɵɣ ɨɬɛɨɪ ɤɨɪɧɟɣ
Ɋɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɧɢ ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɤɪɢɬɟɪɢɟɜ, ɩɟɪɟɱɢɫɥɟɧɧɵɯ ɜɵɲɟ						0
				Ɇ ɤɫ ɦ ɥɶɧɵ ɛ ɥɥ		2

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