§3. Теорема о замене коэффициентов числами, сравнимыми с ними по данному модулю. Степень сравнения с одним неизвестным по данному модулю.

Теорема 3 (о замене коэффициентов сравнения).

Пусть даны два сравнения с одной неизвестной:

a_n xⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} +  + a₁ x + a₀  0 (mod m), (*)

b_n xⁿ + b_{n – 1} x^{n – 1} +  + b₁ x + b₀  0 (mod m). (**)

Если соответствующие коэффициенты a_i и b_i этих многочленов сравнимы по модулю т, то есть если a_i  b_i (mod m) (i = 0, 1, 2, … , n), – то сравнения (*) и (**) – равносильны.

Доказательство.

Пусть дано сравнение a_n xⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} +  + a₁ x + a₀  0 (mod m). (*)

И пусть известно, что

a_n  b_n (mod m),

a_n-1  b_n-1 (mod m),

………………. (***)

a₁  b₁ (mod m),

a₀  b₀ (mod m).

Пусть также известно, что значение x₁ = с удовлетворяет сравнению (*).

Умножим обе части сравнений (***) почленно на сⁿ, с^n-1, ……с¹, с⁰ = 1:

a_n сⁿ  b_n сⁿ (mod m),

a_n-1 с^n-1 b_n-1 с^n-1 (mod m),

………………. (***)

a₁ с b₁ с (mod m),

a₀  b₀ (mod m),

и сложим получившиеся истинные числовые сравнения:

a_n сⁿ + a_{n – 1} с^{n – 1} +  + a₁ с + a₀  b_n сⁿ + b_{n – 1} с^{n – 1} +  + b₁ с + b₀ (mod m).

Ч.т.д.

Следствие .

Если все коэффициенты a_i сравнения (*) заменить числами b_i , сравнимыми с a_i по модулю т, – то получим сравнение (**), равносильное данному.

Пример. 16 х² – 17 х + 10  0(mod 3)  х² – 2 х + 1  0 (mod 3).

Определение 3.3.1.

Степенью сравнения (*) называются наибольший показатель степени члена многочлена, коэффициент a_i которого не делится на т.

Пример. Какова степень сравнения 24 х³ + 5 х + 1  0(mod 3) (1) ? Найти его решения.

Решение.

1) По теореме 2 это сравнение равносильно сравнению 5 х + 1  0 (mod 3) (2) Поэтому данное сравнение – 1-й степени.

2) Для решения сравнения (2) составим классы вычетов по модулю 3: Z₃ = { } и полную систему вычетов: {0, 1, 2}. Так как х = 0 и х = 2 не удовлетворяют сравнению (2), а х = 1 удовлетворяет ему (проверьте!), – то решением сравнения (2) будет класс вычетов , т. е. x = 1 + 3q, qZ, или х  1(mod 3). Этот же класс вычетов будет и решением сравнения (1). Ответ: х  1(mod3).

Теперь можно доказать и теорему 1 из § 1.

Теорема 1.

Если число "с" удовлетворяет сравнению (1) и с₁  с (mod m),

то число с₁ также удовлетворяет сравнению (1).

Рекомендуется проделать это самостоятельно.

§ 4. Линейные сравнения с одной неизвестной, их решение.

Определение 3.4.1.

Линейным сравнением с одной неизвестной называется сравнение по модулю m вида ах  b (mod m), где a, b, xZ, mN, m > 1.

Теорема об условии существования единственного решения.

Если (а, т) = 1, то сравнение ах  b (mod m) имеет единственное решение.

Доказательство.

Возьмём полную систему вычетов по по модулю т: с₁, с₂, с₃, …….. с_m (*).

Т. к. (а, т) = 1, то числа ас₁, ас₂, ас₃, …….. ас_m ……… (**)

Представляют из себя тоже полную систему вычетов.

Поэтому они сравнимы между собой по одному и только по одному

ас₁  с_i1 (mod m),

ас₂  с _i2 (mod m),

ас₃  с _i2 (mod m),

……..

ас_m  с _im (mod m).

Далее, свободный член линейного сравнения b сравним только с одним из вычетов

системы (*), и по транзитивности он сравним с одним и только одним из вычетов системы (**), т.е. сравнение ах  b (mod m) имеет единственное решение.

Ч.т.д.

Теорема об условии отсутствия решения.

Если (а, т) = d  1, и свободный член не делится на d, то сравнение ах  b (mod m) не имеет решения.

Доказательство от противного.

1-й случай: ах  b (mod m), где d = (a; m) = 1.

Тогда сравнение имеет решение и притом единственное (то есть один класс вычетов по модулю т).

Это решение можно найти:

1) способом перебора вычетов из полной системы вычетов по модулю т;

2) использованием теорем равносильности сравнений с неизвестной;

3) по формуле (17)

/ см. ниже, Типовые задачи, пример 1 /.

2-й случай: ах  b (mod m), где (a; m) = d  1, причём b не d.

Тогда сравнение не имеет решений. / см. ниже, Типовые задачи, пример 2 /

3-й случай: ах  b (mod m), где (a; m) = d  1, причём b d .

Тогда сравнение имеет d классов решений по данному модулю т или 1 класс решений по модулю т : d. / см. ниже, Типовые задачи, пример 3 /