Тема 3. Сравнения с одной неизвестной по данному модулю

§ 1. Сравнения с одним неизвестным по данному модулю. Решение сравнения. Равносильность сравнений

Определение 3.1.1.

Сравнением с одной неизвестной называется сравнение по модулю m вида

f(x)  g(x) (mod m) (1),

где f(x) и g(x) – многочлены с целыми коэффициентами, x  Z, m  N, m > 1.

Примеры.

x² + 2x  x – 1(mod 3), 2x³ – 1  0 (mod 5) и т. д.

Определение 3.1.2.

Говорят, что целое число "с" удовлетворяет сравнению (1), если при подстановке числа с вместо х образуется истинное числовое сравнение:

f(с)  g(с) (mod m) – истинно.

Примеры.

Пусть дано сравнение x² + 2x  x – 1(mod 3).

при х = 1:

1² + 2 1 1 – 1(mod 3), 3  0(mod 3) – "И"  х = 1 удовлетворяет (1);

при х = 4 х = 1:

4² + 244 – 1(mod 3), 243(mod 3) – "И"  х = 4 удовлетворяет (1).

Теорема 1.

Если число "с" удовлетворяет сравнению (1) и с₁  с (mod m),

то число с₁ также удовлетворяет сравнению (1).

Рассмотрим на примере, а докажем позже.

Пример.

Возьмём предыдущее сравнение x² + 2x  x – 1(mod 3), для которого мы уже нашли два значения х = 1, х = 4, которые удовлетворяют ему. Заметим, что эти два значения х = 1, х = 4 из одного и того же класса вычетов x  1(mod 3).

Легко убедиться, что любой вычет из этого класса, т.е. любое число, сравнимое с 1 по модулю 3, также удовлетворяют ему.

Вывод: если число "с" удовлетворяет сравнению (1), – то класс чисел (вычетов) по модулю m также удовлетворяет сравнению (1):

= {х = с + mq, q  Z, }.

Определение 3.1.3.

Решением сравнения с одной неизвестной по модулю т называется множество всех классов вычетов по модулю т, удовлетворяющих этому сравнению.

Пример. Решить сравнение 4x  2 (mod 6).

Решение.

Существуют 6 классов вычетов по модулю 6: Z₆ = { }. Составим полную систему вычетов по модулю 6, например, {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Среди них данному сравнению удовлетворяют вычеты 2 и 5 (проверьте!). Значит, решением сравнения будут два класса вычетов: x₁  2(mod6), или x₁ = 2 + 6q, qZ и x₂  5(mod6), или x₂ = 5 + 6q₁, q₁Z.

Ответ: x₁  2(mod 6), x₂  5(mod 6).

§ 2. Теоремы о равносильности сравнений с одним неизвестным по данному модулю.

Определение 3.2.1.

Два сравнения с неизвестной х по модулю т называются равносильными, если множества их решений совпадают.

Теорема 2 (о равносильности сравнений с одной неизвестной).

Дано сравнение f(x)  g(x) (mod m) (1). Если:

1⁰ к обеим частям сравнения (1) прибавить один и тот же целочисленный многочлен от х; или

2⁰ обе части сравнения (1) умножить на одно и то же целое число, взаимно простое с модулем т; или

3⁰ обе части сравнения (1) и модуль т умножить на одно и то же натуральное число, – то получим сравнение, равносильное данному.

Доказательство 1⁰.

Дано сравнение f(x)  g(x) (mod m) (1) и целочисленный многочлен h(x).

Прибавим к обеим частям: f(x) + h(x)  g(x) + h(x) (mod m) (2).

Пусть значение x₁ = с - удовлетворяет (1), т.е. f(с)  g(с) (mod m) (3)– истинное сравнение.

Прибавим к обеим частям истинного числового сравнения (3) одно и тоже число h(с).

По свойствам числовых сравнений получится тоже истинное числовое сравнение

f(с) + h(с)  g(с) + h(с) (mod m) (4).

Истинность последнего сравнения означает, что x₁ = с – удовлетворяет сравнению (2).

Наоборот тоже верно, только теперь от обеих частей истинного сравнения (4) потребуется вычесть одно и тоже число h(с).

По определению 2.1.1. сравнения (2) и (1) равносильны. Ч.т.д.

Аналогично можно провести доказательства 2⁰ и 3⁰.

Рекомендуется проделать это самостоятельно.

Следствия теоремы 1.

а) Можно переносить слагаемые из одной части сравнения в другую с противоположным знаком.

б) Можно все коэффициенты обеих частей сравнения разделить на к, (к, т) = 1.

Доказанная теорема позволяет упрощать решение сравнений.