2. Теорема сложения скоростей при сложном движении точки

Данная теорема устанавливает связь между скоростями точки в ее относительном, переносном и абсолютном движениях. Приведем далее ее формулировку и доказательство.

Теорема.

При сложном движении точки ее абсолютная скорость равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей.

Доказательство:

Пусть движение точки рассматривается как сложное. Рассмотрим ее малое перемещение в абсолютном движении М , происходящее вдоль абсолютной траектории за время t. Это перемещение можно представить как результат двух последовательных перемещений: перемещения вдоль относительной траектории (мысленно остановив переносное движение) и перемещения вдоль переносной траектории (мысленно остановив относительное движение). Изобразив эти перемещения соответствующими векторами, можно записать (см. рис. 20):

(29)

Рис. 20.

Поделив почленно равенство (29) на t и переходя к пределу при , получим утверждение теоремы, которое можно записать в виде векторного равенства:

(30)

Входящие в равенство (30) векторы направлены вдоль соответствующих траекторий и образуют параллелограмм (см. рис. 21).

Рис. 21.

Рассмотрим пример решения задачи.

Пример 4.

По грани призмы, движущейся влево со скоростью 2 м/с, скользит конец А стержня АВ (см. рис. 22). Задан угол . Найти скорость скольжения точки А относительно призмы.

Рис. 22.

Решение.

Рассмотрим движение точки А как сложное. Свяжем подвижную систему координат с призмой. Проведем на рис. 22 через точку А относительную, переносную и абсолютную траектории. Учитывая, что переносная скорость (заданная скорость призмы) направлена влево, построим параллелограмм, соответствующий векторному равенству

Из рисунка следует, что

Отсюда находим искомую относительную скорость

Глава 4. Плоское движение твердого тела.

1. Основные понятия.

Плоским (плоскопараллельным) называется такое движение твердого тела, при котором каждая его точка все время движется в одной и той же плоскости.

Плоскости, в которых движутся различные точки тела, параллельны между собой и параллельны одной и той же неподвижной плоскости. Траектории точек тела при этом являются плоскими кривыми. Плоское движение твердого тела имеет большое значение в технике, так как это движение совершают большинство звеньев в механизмах и машинах. Вращательное движение твердого тела можно считать частным случаем плоского.

Рассмотрим тело, совершающее плоское движение, параллельное неподвижной плоскости Н (см. рис. 23).

Рис. 23.

Тогда любая прямая, перпендикулярная к этой плоскости и жестко связанная с телом, будет двигаться поступательно. То есть, все точки этой прямой движутся одинаково. Достаточно изучить движение одной из них, например, точки М. Рассуждая аналогично для точек тела, лежащих на других скрепленных с телом прямых, перпендикулярных плоскости Н, можно сделать вывод, что для изучения плоского движения твердого тела достаточно изучить движение только одного его сечения плоскостью, параллельной плоскости Н. Это сечение в дальнейшем будем называть плоской фигурой и располагать в плоскости чертежа.

Движение плоской фигуры в ее плоскости можно бесчисленным количеством способов разложить на два более простых – поступательное и вращательное, используя положения предыдущей главы. Для этого основную систему координат свяжем с неподвижной плоскостью Н (плоскостью рисунка), а поступательно перемещающуюся подвижную систему координат свяжем с выбранной точкой А плоской фигуры, называемой полюсом (см. рис. 24).

Рис. 24.

Тогда плоское движение фигуры разложится на поступательное переносное вместе с выбранной подвижной системой координат и относительное вращательное по отношению к подвижной оси Аz, проходящей через полюс А и перпендикулярной плоскости рисунка. Для характеристики вращательной части плоского движения относительно указанной выше подвижной оси вводится понятие угловой скорости и углового ускорения тела при плоском движении.

Докажем далее теорему о перемещении плоской фигуры.

Теорема.

Плоскую фигуру из одного ее положения в любое другое можно перевести двумя перемещениями – поступательным в плоскости фигуры вместе с выбранным полюсом и поворотом в этой же плоскости вокруг этого полюса. При этом поступательная часть перемещения зависит от выбора полюса, а вращательная часть перемещения не зависит от выбора полюса.

Доказательство.

Рассмотрим два любых положения плоской фигуры в ее плоскости, определяемые двумя положениями отрезка АВ, скрепленного с этой фигурой (см. рис. 25).

Рис. 25.

Переместим плоскую фигуру из левого положения в правое сначала поступательно вместе с точкой А, причем скрепленный с ней отрезок АВ останется параллельным своему первоначальному положению и займет положение , а затем повернем фигуру вокруг точки на угол до совпадения с .

Далее, выбрав в качестве полюса точку В, переместим фигуру сначала поступательно вместе с точкой В. При этом отрезок АВ займет положение . После этого повернем фигуру на угол вокруг точки до совпадения с . Из рисунка видно, что поступательная часть перемещения зависит от выбора полюса (определяется траекторией полюса), а вращательная часть перемещения не зависит от выбора полюса, так как как накрестлежащие углы и направление поворота вокруг выбранных полюсов тоже одинаково. Выбирая различные полюсы такое перемещение плоской фигуры можно производить бесчисленным количеством способов. Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что угловая скорость и угловое ускорение тела при плоском движении не завися от выбора полюса, то есть, в любой момент времени плоская фигура относительно подвижных осей, мысленно скрепленных с различными полюсами, поворачивается с одинаковыми угловыми скоростями и одинаковыми угловыми ускорениями.

2. Скорости точек тела при плоском движении.

В данном параграфе рассмотрим способы вычисления скоростей точек тела при плоском движении. Эти способы основаны на двух доказываемых ниже теоремах.

Теорема сложения скоростей при плоском движении тела.

Скорость любой точки плоской фигуры может быть вычислена как геометрическая сумма скорости полюса и скорости точки при ее относительном вращении вокруг подвижной оси, связанной с полюсом.

Доказательство.

Рассмотрим движение точки М плоской фигуры как сложное, связав поступательно перемещающуюся подвижную систему координат с полюсом А (см. рис. 26). Тогда

Рис. 26.

По теореме сложения скоростей при сложном движении точки имеем

(31)

Так как подвижная система координат движется поступательно, то переносная скорость точки равна скорости полюса А

Относительным движением является вращение вокруг подвижной оси Аz. Обозначим относительную скорость Она направлена по касательной к относительной траектории (перпендикулярно отрезку АМ), согласуясь по направлению с угловой скоростью  (см. рис. 26). Величина относительной скорости в данном случае может быть найдена по формуле для вращательного движения

После этого выражение (31) можно записать в окончательном виде

(32)

выражающем доказываемую теорему.

С помощью доказанной теоремы можно определить скорость любой точки тела, если известны скорость полюса и угловая скорость тела. Еще одна теорема, позволяющая находить скорости точек тела при плоском движении, вытекает из предыдущей.

Теорема о проекциях скоростей точек тела.

При плоском движении тела проекции скоростей двух любых его точек на ось, проведенную через эти точки, равны.

Доказательство.

Для доказательства выберем на теле две произвольные точки А и В и проведем через эти точки ось Аx (см. рис. 27).

Рис 27.

Запишем в соответствии с (32) выражение для скорости точки В, выбрав в качестве полюса точку А

(33)

Запишем теперь векторное равенство (33) в проекциях на ось Ах

Учитывая, что вектор перпендикулярен отрезку АВ ( ), получим отсюда утверждение теоремы

(34)

которое еще можно переписать в виде (см. рис. 27)