Тверской государственный технический

университет

Курс лекций

по теоретической механике

О Г Л А В Л Е Н И Е

Предисловие

Предмет теоретической механики

Раздел 1. Кинематика.

Глава 1. Кинематика точки.

1.1. Векторный способ задания движения точки.

1.2. Задание движения точки в декартовых координатах.

1.3. Задание движения точки естественным способом.

Глава 2. Простейшие движения твердого тела.

2.1. Поступательное движение твердого тела.

2.2. Вращательное движение твердого тела.

Глава 3. Сложное движение точки

3.1. Основные понятия.

3.2. Теорема сложения скоростей при сложном движении точки

Глава 4. Плоское движение твердого тела.

4.1. Основные понятия.

4.2. Скорости течек тела при плоском движении.

4.3. Мгновенный центр скоростей.

Раздел 2. Кинетика.

Глава 1. Введение в кинетику.

1.1 Основные понятия.

1.2. Аксиомы механики.

1.3. Момент силы относительно точки и оси.

1.4. Пара сил и ее свойства.

1.5. Основные виды связей и их реакции.

Глава 2. Динамика материальной точки.

2.1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.

2.2. Прямая и обратная задачи динамики точки.

Глава 3. Введение в динамику механической системы.

3.1. Дифференциальные уравнения движения механической системы в декартовых координатах.

3.2. Геометрия масс.

3.2.1. Основные понятия.

3.2.2. Осевые моменты инерции простейших однородных тел.

Глава 4, Общие теоремы динамики.

4.1. Теорема о движении центра масс.

4.2. Теорема об изменении количества движения.

4.3. Теорема об изменении кинетического момента.

4.4. Теорема об изменении кинетической энергии.

4.4.1. Понятие о кинетической энергии.

4.4.2. Работа и мощность силы.

4.4.3. Примеры вычисления работы силы.

4.4.4. Теорема об изменении кинетической энергии.

Глава 5. Статика.

5.1. Независимые уравнения равновесия для различных систем сил.

5.2. Непрерывно распределенная нагрузка из параллельных сил.

5.3. Равновесие системы тел.

Предисловие

В данном учебном пособии излагается основное содержание лекций по теоретической механике, читающихся в Тверском государственном техническом университете для специальностей «Комплексное использование и охрана водных ресурсов» и «Природоохранное обустройство территорий». Данный курс изучается студентами в течение одного учебного семестра. В соответствии с этим материал излагается кратко, по возможности строго и доступно.

Предмет теоретической механики

Теоретическая механика – это наука, изучающая математическими методами механическое движение и равновесие материальных объектов. При этом изучаются не реальные материальные тела, а их идеализированные образы – материальная точка и абсолютно твердое тело.

Под материальной точкой понимают материальное тело, размерами которого можно пренебречь.

Абсолютно твердым телом называют такое материальное тело, геометрическая форма и размеры которого не изменяются при любых механических воздействиях со стороны других тел и расстояние между любыми двумя точками которого остается постоянным.

В дальнейшем по тексту последний термин не всегда полностью воспроизводится, однако следует иметь в виду, что все рассматриваемые тела считаются абсолютно твердыми.

Содержание теоретической механики включает в себя три раздела: кинематику, динамику и статику.

В указанном порядке эти разделы будут рассмотрены далее.

Раздел 1. Кинематика.

Кинематика – это раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных объектов с геометрической стороны вне связи с причинами, вызывающими движение.

Глава 1. Кинематика точки.

1. Векторный способ задания движения точки.

Положение точки можно характеризовать радиусом-вектором ŗ , который начинается в выбранной неподвижной точке О и заканчивается в точке М, движение которой изучается (рис. 1). При векторном способе задания движения точки её радиус-вектор задаётся как функция времени t

. (1)

Уравнение (1) называют векторным уравнением движения точки. Векторная функция в правой его части должна быть дважды дифференцируема.

Рис. 1.

Покажем далее, как, используя уравнение (1), найти кинематические характеристики движения точки. Попутно дадим определения этим характеристикам движения.

Линия, которую описывает точка при своём движении, называется траекторией.

Траектория точки в данном случае может быть найдена как годограф радиуса-вектора.

Напомним, что годографом переменного вектора называется геометрическое место концов этого вектора, если его последовательные положения, получающиеся при изменении аргумента откладывать из одной неподвижной точки.

Средней скоростью точки за промежуток времени Δt называется вектор

Мгновенной скоростью (или просто скоростью) точки в момент времени t называется вектор

(2)

Векторы средней и мгновенной скорости показаны на рис. 2.

Рис. 2.

Вектор скорости характеризует быстроту и направление движения точки. Он направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Аналогично определяются векторы среднего и мгновенного ускорения точки:

(3)

Векторы среднего и мгновенного ускорений показаны на рис. 3.

Рис. 3.

Вектор ускорения характеризует изменение вектора скорости по величине и по направлению. Он отклонен от касательной к траектории в сторону её вогнутости. При прямолинейном движении точки векторы скорости и ускорения направлены вдоль траектории точки.

2. Задание движения точки в декартовых координатах.

При этом способе задания движения задаются декартовы координаты точки как функции времени:

(4)

Уравнения (4) называют кинематическими уравнениями движения точки в декартовых координатах. Функции, стоящие в правых частях этих уравнений должны быть дважды дифференцируемыми. При движении точки в плоскости достаточно задать два кинематических уравнения движения.

Покажем, как с помощью уравнений (4) можно найти все характеристики движения точки.

Для нахождения траектории нужно из уравнений (4) исключить параметр t. Если точка движется в пространстве, то после исключения t из уравнений (4) получим два уравнения вида

Эти уравнения определяют в пространстве линию, которая будет траекторией точки. Если точка движется в плоскости, то после исключения t из первых двух уравнений (4) получим одно уравнение вида

которое определяет линию в плоскости (x,y).

Для нахождения скорости и ускорения точки выразим её радиус-вектор через декартовы координаты. Если в точке О, из которой откладывается радиус-вектор, выбрать начало декартовой системы координат, то легко получить выражение

(см. рис. 4)

(5)

где - орты координатных осей.

Рис. 4.

Продифференцировав равенство (5) по времени, получим

(6)

Обозначая производные по времени точками над дифференцируемой функцией ( ), из последнего выражения получим формулы для проекций скорости на оси координат

(7)

Величина скорости после этого найдется через её проекции

Повторно дифференцируя равенство (6) по времени, получим

Отсюда проекции ускорения на оси координат равны

(8)

По этим проекциям определяем величину вектора ускорения

Пример 1.

Движение точки в плоскости задано уравнениями

Требуется определить траекторию точки, а также для момента времени найти положение точки, скорость и ускорение.

Решение.

Для исключения t из кинематических уравнений движения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством Из уравнений движения выразим

После возведения в квадрат этих выражений и почленного сложения полученных равенств найдем уравнение траектории в виде

Это уравнение эллипса. Построим его на рис. 5.

Рис. 5.

Положение точки в момент определяется её координатами

.

Векторы скорости и ускорения точки найдем через их проекции на оси координат по формулам (7) и (8)

,

,

Построим теперь векторы скорости и ускорения в выбранном масштабе на рис. 5, показав их в найденном положении точки на траектории.