10.4. Контрольні запитання.

1) Що таке гістограма? Як і з якою метою її будують?

2) Назвіть основні характеристики законів розподілу випадкових величин.

3) Як пов’язані між собою щільність розподілу відмов і безвідмовність виробів?

4) Які області застосування функцій частоти відмов інтенсивності відмов і параметра потоку відмов у теорії надійності?

5) У яких випадках моделі відмов описуються ймовірнісними законами надійності (нормальним, логарифмічно нормальним, гамма, Пуассона, Вейбулла, експоненційним)?

11. Практична робота. Математичне визначення показників законів розподілу відмов

11.1. Завдання. Для визначеного за даними в практичному занятті 10 закону розподілу розрахувати математичні характеристики і побудувати графічні залежності , , .

11.2. Теоретичні відомості про математичні показники надійності

11.2.1. Математичне сподівання (середнє значення) – основна і найпростіша характеристика випадкової величини X. Значення математичного сподівання, що визначається за результатами спостережень, для дискретних і безперервних величин називають оцінкою математичного сподівання, або оцінкою середнього значення :

, або ,

де х_і – поточне значення випадкової величини; g_i – кількість однакових значень х_і; N – загальна кількість спостережень.

У першій формулі складають усі N членів, у другій – кількість членів з різними значеннями х_і. За досить великої кількості спостережень вважають, що m_x = . В імовірнісних задачах математичне сподівання визначають залежно від щільності розподілу f(x) (для безперервних величин) або ймовірності p_і появи значення х_і (для дискретних величин):

; .

11.2.2. Мода – значення випадкової величини, що трапляється найчастіше, або найбільш імовірне її значення.

11.2.3. Квантиль – значення випадкової величини, що відповідає заданій імовірності. Квантиль, що відповідає імовірності 0,5, називають медіаною.

11.2.4. Медіана є центром групування випадкової величини. Площу під графіком медіана поділяє навпіл.

Для нормального закону розподілу випадкових величин, який описує відома крива Гаусса, математичне сподівання, мода і медіана збігаються.

11.2.5. Дисперсія випадкової величини – це математичне сподівання квадрату відхилення цієї величини від її математичного сподівання.

Оцінка дисперсії випадкової величини – середнє значення квадрата різниці між значеннями випадкової величини та її середнім значенням:

, або ,

де N – загальна кількість спостережень; х_і – поточне значення випадкової величини; – середнє значення випадкової величини; g_i – кількість однакових значень випадкової величини.

Поняття “дисперсія ” означає розсіювання і характеризує розбіжність випадкової величини.

Для безперервних випадкових величин

.

Для дискретних випадкових величин

,

де p_і – імовірність появи значення .

Дисперсія вимірюється квадратом розмірності випадкової величини. Оскільки зручніше користуватися характеристикою розсіювання, що має розмірність випадкової величини, введено характеристику середнє квадратичне відхилення, тобто квадратний корінь з дисперсії:

.

Для оцінювання розсіювання випадкових величин за допомогою безрозмірної (відносної) характеристики використовують коефіцієнт варіації, що дорівнює відношенню середнього квадратичного відхилення до математичного сподівання:

.