Глава 2

ГИДРОСТАТИКА

1. Гидростатическое давление

Гидростатикой называется раздел гидравлики, в котором изучаются законы равновесия жидкостей при относительном покое, т. е. покое относительно границ емкости, и рассматривается практическое приложение этих законов. В покоящейся жидкости не проявляются силы вязкости, что позволяет решать задачи, используя модель идеальной жидкости.

Покоящаяся жидкость подвержена действию внешних массовых пропорциональных массе сил и поверхностных, действующих на свободную или граничную поверхность, сил. В результате действия этих сил внутри жидкости возникают сжимающие напряжения, называемые гидростатическим давлением (аналогично напряжению сжатия в твердых телах). При равномерном распределении силы F по поверхности площадью S гидростатическое давление выражается формулой

(2.1)

Единицей гидростатического давления является 1 Н/м². Эта единица называется паскаль (Па). Так как она очень мала, применяют кратную ей единицу мегапаскаль (МПа). При этом 1 МПа = 10⁶ Па 10 кгс/см². Размерность давления —L^-lMT^-2 = FL^-2.

Если в жидкости выделить некоторую внутреннюю площадку S и уменьшать ее, устремляя к нулю, то в пределе отношение F/S при S 0 будет определять гидростатическое давление в точке.

Это давление имеет два основных свойства:

1) гидростатическое давление действует всегда по нормали к площадке;

2) величина гидростатического давления в точке не зависит от ориентации площадки.

2. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

Уравнения равновесия жидкости были составлены Л. Эйлером. Рассмотрим равновесие жидкости, находящейся под действием массовых сил и сил гидростатического давления. Выделим внутри покоящейся жидкости бесконечно малый элемент (рис. 3) со сторонами dx, dy, dz, ориентированными вдоль соответствующих осей координат.

Рис. 3. Схема к выводу уравнения равновесия жидкости

Масса внутреннего элемента жидкости

Для равновесия выделенного элемента жидкости необходимо, чтобы сумма проекций всех действующих сил на любую из координатных осей была равна нулю.

Обозначим через а_х, а_у, а_z проекции ускорений всех массовых сил, отнесенных к единице массы, на оси х, у, z. Тогда проекции всех массовых сил на координатные оси равны

а_х dm. = а_х dx dy dz,

а_у dm = а_у dx dy dz,

а_z dm = a_z dx dy dz.

Так как гидростатическое давление является функцией координат точки, то в направлении каждой оси давление будет изменяться. Так, например, по длине элемента dx будет изменяться только координата х, и приращение давления составит , а давление в конце грани будет

Проекция разности сил гидростатического давления на левую и правую грани выделенного элемента равна

. (2.2)

Аналогично получаем для проекции на другие оси координат

.

Так как кроме рассмотренных других сил нет, то для равновесия массы выделенного элемента силы давления должны уравновешивать массовые силы. В результате получаем систему уравнений равновесия для рассматриваемого объема жидкости

Приведя подобные члены и разделив на dxdydz, получим уравнение равновесия в форме Эйлера

, , (2.3)

где р — искомое давление как функция координат.

Для удобства интегрирования уравнения Эйлера путем умножения каждого соответственно на dx, dy, dz и почленного сложения приводятся к виду

dp = (а_хdx + a_ydy + a_zdz), (2.4)

где dp — полный дифференциал р давления.

Приняв в уравнении (2.4) р = const, получим dp = 0, что приводит к уравнению поверхности равного давления

a_xdx + а_у dy + а_z dz = 0. (2.5)

Частным случаем поверхности равного давления является свободная поверхность жидкости.

Пусть жидкость находится под действием только силы тяжести. В этом случае dx = 0, dy = 0, dz = —g. Подставляя эти значения в (2.5), получим gdz = 0 — уравнение горизонтальной плоскости

dz = const.

Следовательно, в любом горизонтальном сечении покоящейся однородной жидкости давление одинаково.