4. Регрессионный анализ

.

Регрессионный анализ является составляющим элементом более общего метода количественного статистического анализа связей – корреляционно – регрессионного и заключается в определении аналитического выражения связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков (при многофакторной связи).

Целью регрессионного анализа является оценка функциональной зависимости условного среднего значения результативного признака (У) от факторных (х₁ , х_{2 , …,} х_k).

Одним из важных вопросов построения моделей является их размерность. Практика выработала определенный критерий, позволяющий установить оптимальное соотношение между числом факторных признаков, включаемых в модель, и объемом исследуемой совокупности. Согласно данному критерию число факторных признаков k должно быть в 5 .. 6 раз меньше объема изучаемой совокупности.

Остановимся более подробно на модели парной линейной регрессии.

Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками: результативным и факторным. Аналитическая связь между ними может описывается следующими элементарными уравнениями:

• Прямой =а₀ + а₁х;

• Гиперболы = а₀ + а_1./ х; (52)

• Параболы = а₀ + а₁х + а₁х²; и т. д.

Оценка неизвестных параметров уравнения регрессии ( а_0, а₁, …а_n) осуществляется на основе метода наименьших квадратов.

Сущность метода наименьших квадратов заключается в нахождении параметров модели а_0, а₁, …а_n , при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии.

S =

Для линейной зависимости имеем

S = (53)

Производя частное дифференцирование зависимости (53) по параметрам а_0, а₁, …а_n приходим к системе нормальных уравнений. Для линейной парной регрессии система нормальных уравнений имеет вид

;

(54)

где n – объем исследуемой совокупности ( число единиц наблюдения)

Пример. Имеются данные, характеризующие деловую активность акционерных обществ закрытого типа прибыль ( тыс. рубл.) и затраты на 1 руб. произведенной продукции (коп.) . Эти данные приведены в таблице 26 Предположим наличие линейной зависимости между рассматриваемыми признаками.

Таблица 26 - Расчет сумм для определения параметров парного линейного уравнения регрессии

№ п/п	Затраты на 1 руб. произведенной продукции, коп. Х	Прибыль, тыс. руб., У	Х2	ХУ
1 2 3 4 5 6	77 77 81 82 89 96	1070 1001 789 779 606 221	5929 5929 5561 6724 7921 9216	82390 77077 63909 63878 53934 21216	1016 1016 853 812 527 242
Итого	502	4466	42280	362404	4466

Система нормальных уравнений для данного примера имеет вид (54 ) а в числовом варианте

6а₀ + 502а₁ = 4466;

502 а₀ + 42280 а₁ = 362 404

Откуда: а₀ = 4153,88; а₁ = - 40,75.

Следовательно, уравнение регрессии имеет вид

= 4153,88 – 40, 75х .

Оценка адекватности моделей построенных на основе уравнений регрессии начинается с проверки значимости коэффициентов регрессии.

Значимость коэффициентов регрессии осуществляется с помощью t - критерия Стьюдента

, (55)

где - дисперсия коэффициента регрессии.

Параметр модели признается статически значимым, если выполняется условие

t_р  t_kp (; n =n-2), (56 )

где  - уровень значимости.

n = (n -2) - число степеней свободы, которое характеризует число свободно варьирующих элементов совокупности.

Дисперсию можно определить можно определить по зависимости

, (57)

Проверка адекватности регрессионной модели в целом осуществляется с помощью расчета F - критерия ФИШЕРА и величины средней ошибки аппроксимации .

Если F_рF_ при  = 0,05 или  = 0,01, то H₀ - гипотеза о несоответствии заложенных в уравнении регрессии связей реально существующим отвергается. Величина F_ определяется по специальным статистическим таблицам.

Значение средней ошибки аппроксимации не должно превышать (12…15)%