3. Корреляционный анализ

Корреляционный метод анализа является составляющим элементом более общего метода количественного статистического анализа связей – корреляционно – регрессионного и имеет своей задачей количественное определение тесноты и направления связи между двумя признаками ( при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаков ( при многофакторной связи).

В статистике принято различать следующие варианты зависимостей.

1. Парная корреляция – связь между двумя признаками ( результативным и факторным или двумя признаками).

2. Частная корреляция – зависимость между результативным и одним факторным признаками при фиксированном значении других факторных признаков.

3. Множественная корреляция – зависимость результативного и двух или более факторных признаков, включенных в исследование.

Количественно оценить тесноту и направление связи между двумя признаками при парной линейной корреляции можно посредством расчета линейного коэффициент корреляции.

На практике применяются различные модификации формул для расчета, данного коэффициента. Наиболее простой из них является зависимость вида

(48)

Физическая интерпретация значений линейного коэффициента корреляции приведена в таблице 24..

Таблица 24 - Количественные критерии оценки тесноты связи

Величина коэффициента корреляции	Характер связи
До + - 0,3 + - 0,3…+ - 0,5 + - 0,5…+ - 0,7 + - 0,7…+ - 1,0	Практически отсутствует Слабая Умеренная Сильная

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t- критерия Стьюдента. При этом выдвигается и проверяется нулевая гипотеза (Н₀) о равенстве коэффициента корреляции нулю [Н₀: r=0] При проверке этой гипотезы используется t-статистика.

( 49)

Если расчетное значение t_р t_кр (табличное), то гипотеза Н₀ отвергается, что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции, а, следовательно, и о статистической существенности зависимости между Х иУ. Данный критерий оценки значимости применяется для совокупностей n 50.

При большем числе наблюдений (n100) используется следующая формула для определения t - статистики

. (50)

Для статистически значимого линейного коэффициента корреляции определяют интервальные оценки с помощью z- распределения Фишера по формуле

, (51)

где t_ - табулированные значения для нормального распределения, зависимые от = 1- (  - уровень значимости);

Z^ - табличные значения Z^=f (r) – распределение.( Функция Z^ - нечетная, т. е. Z^ =f (-r) = - f (r).)

Пример. Порядок расчета линейного коэффициента корреляции. На основе выборочных данных о деловой активности однотипных коммерческих структур оценить тесноту связи между прибылью У (тыс. руб.) и затратами (Х) на 1 руб. произведенной продукции (таблица 25 ).

Алгоритм расчета.

1. Выполняем промежуточные расчеты (таблица 25).

2. Рассчитываем значения дисперсии

= 632056,33 – (744,33)² = 78029,3;

=7046,67 – (83,67)² =46.

3.Рассчитываем значение коэффициента корреляции по формуле (48)

r= (60400,67 – 744,33*83,67)/(78029,3*46)^0,5 = -0,98.

Таблица 25 - . Расчетная таблица для определения коэффициента корреляции

№ п/п	у	х	ух	У2	Х2
1 2 3 4 5 6	221 1070 1001 606 779 789	96 77 77 89 82 81	21216 82390 77077 53934 63878 63909	48841 1144900 1002000 367236 606841 622520	9216 5929 5929 7921 6724 6561
Сумма	4466	502	362404	3792338	42380
Средняя	744,33	83,67	60400,67	632056,33	7046,67

4. Проверяем значимость коэффициента корреляции для этого рассчитываем t - статистику Стьюдента

= (0,98/1-(0,98)²)*6-2 = 14,036.

Сравниваем полученное значение с табличным при уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы k =6-2=4, которое равно t _кр =2,776.

Вывод. Гипотеза Н₀ отвергается так как  t_рt _кр =2,776, что свидетельствует о значимости данного коэффициента корреляции.

5. Рассчитываем доверительный интервал полученного коэффициента корреляции.

Так как предыдущий пункт расчета мы выполняли для уровня значимости =0,05, то доверительная вероятность соответственно равна  = 1 - = 1 – 0,05 = 0,95. Тогда по таблицам нормального закона распределения определяем значение стандартизованного отклонения t_ = 1.96.

Так, как r = -0,98 = 0,98, то по таблицам z- преобразования Фишера находим Z^ = 2,2976. Тогда

,

2,2976 - 1,96*((1/(6-3))^0,5 Z  2, 2976 + 1,96*((1/(6-3))^0,5;

1,1659  Z  3.4292.

По таблице z- преобразования Фишера определяем r

0,83 r0,998

Примечание! Приведенные выше зависимости и результаты практических расчетов относятся к предположениям о наличии линейной связи между оцениваемыми параметрами. В случае если заранее известно, что связь нелинейная то можно воспользоваться эмпирическим корреляционным отношением.