Рассчитываем необходимую численность типической выборки

n = ( 2² *1600 * 10000)\,(5²*10000+2²*1600) =250 коров.

Тогда из 250 коров

В районе А: n₁ = 250*5000/10000 =125 коров;

В районе Б: n2 = 250*3000/10000 =75 коров;

В районе В: n3 = 250*2000/10000 =50 коров;

Пример №4. На склад предприятия поступило 100 ящиков готовых изделий по 80 штук в каждом. Для установления среднего веса деталей следует провести серийную выборку деталей методом механического отбора так, чтобы с вероятностью 0, 954 ошибка выборки не превышала 3 г. На основании предыдущих обследований известно, что дисперсия серийной выборки равна 4. Определить необходимый объем выборки.

r = ( 2² 4 100) \(100*2² + 2² *4) = 4 ящика.

2. Понятие о малой выборки

При большом числе единиц выборочной совокупности (n 100) распределение случайных ошибок выборочной средней в соответствии с теоремой А.М. Ляпунова нормально или приближается к нормальному по мере увеличения числа наблюдений.

Однако в практике статистического исследования в условиях рыночной экономики все чаще приходится сталкиваться с малыми выборками.

Малой выборкой называется такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не превышает 30.

Разработка теории малой выборки была начата английским статистиком В.С. ГОССЕТОМ (печатавшимся под псевдонимом СТЬЮДЕНТ). Он доказал, что оценка расхождения между средней малой выборки и генеральной средней имеет особый закон распределения.

При оценке результатов малой выборки величина генеральной совокупности не используется. Для определения возможных пределов ошибки пользуются критерием Стьюдента, определяемым по формуле

, (45)

где - мера случайных колебаний выборочной средней в малой выборке.

Величина  вычисляется на основе данных выборочного наблюдения. Она равна

. ( 46 )

Предельная ошибка малой выборки (_мв) в зависимости от средней ошибки( _мв) представляется как

_мв = t_мв . (47)

Для малой выборки величина t по другому связана с вероятностной оценкой, чем при большой выборке ( так как, закон распределения отличается от нормального).

Согласно установленному Стьюдентом закону распределения, вероятная ошибка распределения зависит как от величины коэффициента доверия t , так и от объема выборки В таблице 23 приведен фрагмент таблицы распределения Стьюдента.

Таблица 23- Распределение вероятностей в малых выборках в зависимости от коэффициента доверия t и объема выборки

n/t	4	5	6	7	8	9	10	15	20	
0,5 1.0 1,5 2,0 2,5 3,0	348 608 770 860 933 942	356 626 792 884 946 960	362 636 806 908 955 970	366 644 816 908 959 976	368 650 832 914 963 980	370 654 828 920 966 938	372 656 832 924 968 984	376 666 846 932 975 992	378 670 850 940 978 992	383 683 865 954 988 977
Примечание. 1. Для определения вероятности соответствующие табличные значения необходимо разделить на 1000 2. При n =  приведены вероятности нормального распределения.

Как видно из таблицы 23 при увеличении n распределение стремиться к нормальному и уже при n = 20 практически от него не отличается.

Пример. Предположим, что выборочное обследование 10 рабочих мест малого предприятия показало, что на выполнение одной из производственных операций рабочие затрачивали времени (мин.):

3,4 ; 4,7 ; 1,8 ; 3,9 ; 4,2; 3,9 ; 3,7 ; 3,2; 2,2; 3,9

Алгоритм расчета характеристик малой выборки

1. Определяем выборочную среднюю затраты времени на производство технологической операции

= ( 3,4 + 4,7 + …+ 3,9 ) / 10 = 3,49 мин.

2. Рассчитываем выборочную дисперсию

= (( 3,4 – 3,49)² + ( 4,7 - 3,49)² + …+ ( 3,9 -3,49)² ) / 10 = 0,713.

3. Определяем среднюю ошибку малой выборки

_мв = 0,713/ ( 10 –1) = 0,28 мин.

4. Принимаем коэффициент доверия t =2 и по таблице Стьюдента для n = 10 вероятность 0,924.

Следовательно, с вероятностью 0,924 можно утверждать, что расхождение между выборкой и генеральной совокупностью находится в пределах от -2 до +2, т.е разность не превысит по абсолютной величине значение 0,56 ( 2*0,28). Следовательно, средние затраты времени во всей совокупности будут находится в пределах от 2, 93 до 4,05 мин. Вероятность того, что данный вывод не буден выполняться равна 1 – 0,924 = 0,076 7,6 %.