2 Графические методы определения структурных средних

Мода определяется по гистограмме распределения.

частота

Мо

Варианты

Рисунок 7 - Определение моды по гистограмме

Алгоритм определения моды

1. Изобразить в масштабе гистограмму ряда распределения (рисунок 7).

2. Выбрать самый высокий прямоугольник, который и будет модальным.

3. Правую вершину модального прямоугольника соединить прямой с правым верхним углом предыдущего прямоугольника.

4. Левую вершину модального прямоугольника соединить прямой с левым верхним углом последующего прямоугольника.

5. Из точки пересечения прямых опустить перпендикуляр на ось абсцисс. Точка пересечения является модой ряда распределения.

Медиана распределения рассчитывается по кумуляте.

Алгоритм расчета медианы

1 Изобразить в масштабе кумуляту ряда распределения (рисунок 8).

2. По шкале накопленных частот определяют ординату, соответствующую 50% и проводят прямую параллельную оси абсцисс до пересечения с кумулятой.

3. Из точки пересечения опускают перпендикуляр до пересечения с точкой абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.

3 Понятие о других формах структурных средних

Аналогично с нахождением медианы в вариационных рядах распределения можно также отыскать значение признака у любой по порядку единицы ранжированного ряда. Так, например, можно найти значение признака у единиц, делящих ряд на четыре равные части, на пять равных частей, на десять или сто частей. Эти величины называются «квартили», «квинтили», «децили», и «перцентили».

Квартили представляют собой значение признака, делящие ранжированную совокупность на четыре равновеликие части.

Различают квартиль нижний (Q₁), отделяющий ¼ часть совокупности с наименьшими значениями признака, и квартиль верхний (Q₃) , отделяющий ¼ часть с наибольшими значениями признака. Это означает, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q₁; 25% единиц будут заключены между Q₁ и Q₂ ; 25% - между Q₂ и Q₃ и остальные 25% превосходят Q₃ . Следует помнить ! Средним квартилем Q₂ является медиана.

Для расчета квартилей по интервальному вариационному ряду используются формулы

, ( 30 )

, ( 31)

где Х_Q1 - нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль ( интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25% общей суммы частот)

Х_Q3 - нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль ( интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75%);

i - величина интервала;

S_{Q1 –1 -} накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль;

S_{Q3 –1} – то же для верхнего квартиля;

f_Q1,f_Q3 – частота интервала, содержащего нижний и верхний квартиль соответственно.

Рассмотрим пример расчет нижнего и верхнего квартилей по исходным данным, приведенным в таблице 16.

Нижний квартиль находится в интервале 400 –600, накопленная частота которого равна 60,2 млн. чел.

Верхний квартиль лежит в интервале 1000 –1200 с накопленной частотой 116,5 млн. чел. С учетом этого получим

Q₁ = 400+ 200 (( ¼*147,5 –29,6)/30,6)) =447,5 тыс. руб.

Q₃ = 1000+ 200 (( 3/4*147,5 –103,7)/12,8)) =1108,2 тыс. руб.

Вывод. Максимальный доход 25% наименее обеспеченного населения составляет 447,5 тыс. руб., а минимальный доход наиболее обеспеченного населения составляет 1108,2 тыс. руб.

Кроме квартилей в вариационных рядах распределения могут определяться децили – варианты, делящие ранжированный ряд на десять равных частей Первый дециль делит совокупность в соотношении1/10 к 9/10, второй дециль в соотношении 2/10 к 8/10 и т. д. Вычисляются децили по той же схеме, что и квартили.

Перцентили делят ряд на сто частей и используются лишь при необходимости подробного изучения структуры вариационного ряда.

Соотношения между медианой, квартилей, децилей и перцентилей показаны на рисунке 9.

Децили

Перцентили

Ранжированная совокупность

медиана

квартили

Рисунок 9 - Медиана, квартили, децили и перцентили