3 Понятие о других формах средней

Средняя гармоническая используется в тех случаях когда известен числитель исходного соотношения средней, но не известен знаменатель.

Рассмотрим пример, данные которого приведены в таблице 10.

Таблица 10 - Валовой сбор и урожайность подсолнечника по Центрально – Черноземному району

Область	Валовой сбор, тыс. т	Урожайность, ц\га
Белгородская Воронежская Курская Липецкая Тамбовская	97,0 204,0 0,5 16,0 69,0	16,1 9,5 4,8 10,9 7,0

В общем случае средняя урожайность любой сельскохозяйственной культуры по нескольким сельхозхозяйствам может быть определена только на основе следующего исходного соотношения

Общий валовой сбор, тыс.ц

И СС =

Общая посевная площадь, тыс. га.

Общий валовой сбор получается определяется суммированием валового сбора по областям. Однако данные о посевных площадях в явном виде в таблице отсутствуют. Их косвенно можно получить разделив валовой сбор по каждой области на урожайность. Тогда, определим искомую среднюю, предварительно переведя тоны в центнеры

Общая зависимость для определения средней гармонической имеет Средняя геометрическая определяется по зависимостям :

• невзвешенная

, ( 8 )

• взвешенная

( 9 )

Наибольшее распространение этот вид средней получил в анализе динамики при определении среднего темпа роста

Средняя квадратическая рассчитывается по зависимостям.

• невзвешенная

, (10)

• взвешенная

, (11)

Тема №6. Показатели вариации Занятие №1. (лекция.)Технология определения показателей вариации

1. Абсолютные показатели вариации и технология их определения

К абсолютным показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Размах вариации – показатель, показывающий насколько велико различие между единицами совокупности, имеющими наибольшее и наименьшее значение признака. Зависимость для его расчета имеет вид

R= X_max – X_min . (10)

К существенному недостатку этого признака относится то обстоятельство, что очень низкое или очень высокое значение признака по сравнению с основной массой его значений в совокупности могут быть обусловлены какими – либо сугубо случайными обстоятельствами ( т.е. эти значения являются аномальными в совокупности).

Следующий недостаток размаха вариации заключается в том, что крайние значения признака встречаются достаточно редко и существенно зависят от объема выборочных наблюдений.

Несмотря на это, при малых выборках, повторяемых несколько раз, размах вариации находит широкое применение.

Среднее линейное отклонение - показатель, отражающий типичный размер признака.

Расчетная зависимость для его определения имеет вид

А) простое среднее линейное отклонение

, (11)

где n – число наблюдений признака.

Б) взвешенное среднее линейное отклонение для интервального вариационного ряда

. (12 )

Рассмотрим пример расчета среднего линейного отклонения по исходным данным, приведенным в таблице 11.

Таблица 11 - Распределение промышленных фирм по оснащенности работников промышленно – производственными основными фондами (ППОФ)

Группа фирм по величине ППОФ на одного работника, тыс. руб. хi	Число фирм, % к итогу, fi (частости)	Середина интервалов, xi	xi*fi		fi
А	1	2	3	4	5
До 1 1-2 2-3 3-5 5-10 10-20 20 и более	7,8 12,2 14,9 23,3 24,3 10,6 6,9	0,5 1,5 2,5 4,0 7,5 15,0 25,0	3,90 18,30 37,25 93,20 182,25 159,00 172,50	6,16 5,16 4,16 2,66 0,84 8,34 8,34	48,048 62,952 61,984 61,078 20,412 88,404 126,56
Итого	100,0		666,40		470,324

Алгоритм расчета среднего взвешенного линейного отклонения

1. Принимаем середины интервалов колонки А за варианты признака, определяем их значение х^_I и заполняем колонку 2.

2. Находим произведение середин интервалов на их веса x^_i*f_i, , заполняем колонку 3 и определяем итог по колонке, который равен значению 666,4.

3. Рассчитываем среднее значение показателя по формуле средней арифметической взвешенной для дискретного вариационного ряда

4. Определяем значение величины и заполняем колонку 4.

5. Рассчитываем произведение f_i , заполняем колонку 5 и находим итог по колонке 470, 324.

6. Окончательно рассчитываем взвешенное среднее линейное отклонение

На практике более удобно использовать показатели вариации, найденные с использованием вторых степеней отклонений. Полученная при этом мера вариации называется дисперсией (²), а корень квадратный из дисперсии – средним квадратическим отклонением ().

Дисперсия - средняя величина квадратов отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

Рабочие зависимости для расчета дисперсии имеют вид:

а) простая дисперсия

, (13)

б) взвешенная дисперсия для интервального вариационного ряда

. (14)

Среднеквадратическое отклонение – корень квадратный из дисперсии.

а) простое среднеквадратическое отклонение

. (15)

б) взвешенное среднеквадратическое отклонение для интервального вариационного ряда

. (16)

Среднеквадратическое отклонение является более удобной мерой вариации, поскольку выражается в тех же единицах измерения, что и значение признака.

Рассмотрим пример расчета простых дисперсией и среднеквадратического отклонения по исходным данные приведены в таблице 12.

Таблица 12 - Валовой сбор зерна в сельхозхозяйствах условного района.

Хозяйство	Валовой сбор зерновых, ц xi
А	1	2	3
1 2 3 4 5 6	600 520 400 600 500 380	100 20 -100 100 0 -120	10000 400 10000 10000 0 144000
Итого	3000	0	44800

Алгоритм расчета

1. Определить среднюю величину по формуле для простой средней арифметической

2. Найти сумму отклонений x_i от , для рассматриваемого примера она равна 44800.

3. Разделить сумму отклонений на число единиц совокупности. Получим дисперсию

² = 44800/ 6 = 7466,67

4. Извлечь корень квадратный из дисперсии Получим среднеквадратическое отклонение

 ц.

Вывод. Степень вариации в рассматриваемой совокупности достаточно мала, так как средняя величина равна 500 ц. Это обстоятельство свидетельствует об однородности рассматриваемой совокупности.

Рассмотрим порядок расчета взвешенного значений дисперсии и среднеквадратического отклонения. Исходные данные приведены в таблице 13.

Таблица 13- Сравнительная характеристика тарифных разрядов сотрудников двух условных министерств.

Министерство №1					Министерство №2
Тарифный разряд xi	Число сотруд- ков, fi чел.				Тарифный разряд xi	Число соруд- ков, fi чел.
12 13 14 15 16 17 18	1 5 30 60 30 5 1	-3 -2 -1 0 1 2 3	9 4 1 0 1 4 9	9 20 30 0 30 20 9	12 13 14 15 16 17 18	30 20 10 50 10 20 30	-3 -2 -1 0 1 2 3	9 4 1 0 1 4 9	270 80 10 0 10 80 270
Итого	132			118		170			720

Министерство №1 :

= 15; ²₁ = 118\132 =0,89; ₁ = 0,89 = 0,94  1 разряд

Министерство №2 :

= 15; ²₁ = 720\170 =4,24; ₁ = 4,24 = 2,05  2 разряда

Вывод. Во втором министерстве наблюдается более высокая колебаемость тарифного разряда.

Дисперсии обладают следующими свойствами.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2. Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину А не изменяет величины дисперсии.

Следствием этого свойства является то, что средний квадрат отклонений можно определять не по заданным значениям признака, а по отклонениям их от какой либо постоянной величины.

3. Уменьшение всех значений признака в k раз уменьшает дисперсию в k² раз, а среднеквадратическое отклонение – в k раз:

Следствием этого свойства является то, что при расчете дисперсии все значения признака можно разделить на какое либо постоянное число (например величину интервала вариационного ряда), определить среднее квадратическое отклонение, а затем умножить его на постоянное число

Следует помнить! В условиях нормального распределения существует следующая зависимость между величиной среднего квадратического отклонения и количеством наблюдений.

• В пределах ⁺_- 1 располагается 0,683, или 68,3% количества наблюдений;

• В пределах ⁺_- 2 - 0,954, или 95,4 %;

• В пределах ⁺_- 3 - 0,997, или 99,7 % количества наблюдений.

На практике почти не встречаются отклонения, которые превышают интервал ⁺_-3. Отклонение в 3 считается максимально возможным. Это положение называется правилом трех сигм.

2. Относительные показатели вариации

Относительные показатели вариации используются для сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности, либо при сравнении колеблемости одного и того же признака в разных совокупностях.

Базой структуры этих признаков является средняя арифметическая.

К относительным показателям вариации относятся.

1. Коэффициент осцилляции

. (17)

2. Линейный коэффициент вариации

. (18 )

3. Коэффициент вариации.

. (19)

Последний коэффициент получил наибольшее распространение в практических расчетах.

Пример. По данным таблицы 13 для первого министерства V₁ = (0,94/15)*100% = 6,27. Для второго министерства V₂ = (2,05/15)*100% = 13,67%. Вывод. Вариация колеблемости тарифного разряда во втором министерстве выше чем в первом.