4.2 Правила преобразования структурных схем

Структурной схемой в теории автоматического управления называют графическое изображение математической модели системы автоматического управления в виде соединения звеньев. Звенья представляют в виде прямоугольников, внутри которых записывают их передаточные функции.

При изображении структурных схем систем автоматического регулирования и управления используют условные обозначения, приведенные в приложении В.

Входные и выходные переменные записывают в виде изображений по Лапласу, если передаточные функции задают в изображениях Лапласа. Если же передаточные функции задают в операторной форме, то входные и выходные переменные записывают в виде оригиналов.

Основными типами соединений звеньев в структурной схеме являются последовательное, параллельное и встречно-параллельное (с обратной связью). Эти соединения звеньев можно заменить одним звеном с эквивалентной передаточной функцией, пользуясь правилами преобразования структурных схем (первые три правила приложения Г).

Если при размыкании главной обратной связи системы автоматического регулирования получится цепь, содержащая параллельные или обратные связи, то такая система называется многоконтурной. Многоконтурная система может иметь структуру с перекрестными связями. В этом случае контур обратной или параллельной связи охватывает участок цепи, содержащий начало или конец другой цепи параллельной или обратной связи.

Пользуясь структурными преобразованиями, можно любую систему автоматического регулирования привести к расчетному виду, исключающему перекрестные связи и позволяющему получить объединенные (эквивалентные) передаточные функции разомкнутой а) и замкнутой б) систем автоматического регулирования (рисунок 4.2).

W(s)

W(s)

G (s) Y(s) G(s) X(s)

а) б)

Рисунок 4.2 - Разомкнутая и замкнутая системы

На рисунке 4.2 - передаточная функция разомкнутой системы.

Передаточная функция замкнутой системы

.

4.3 Критерий устойчивости Рауса

Условие устойчивости линейной системы формулируется следующим образом: для того, чтобы линейная система была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательную вещественную часть (были левыми), т.е. на комплексной плоскости корней располагались левее мнимой оси.

Вычисление корней характеристического уравнения выше второго порядка связаны с большими трудностями. Поэтому важное значение приобретают правила, которые позволяют определять устойчивость системы без определения корней. Эти правила называют критериями устойчивости. Существующие критерии делятся на алгебраические и частотные. Одним из алгебраических критериев является критерий Рауса.

Для проверки устойчивости по критерию Рауса необходимо иметь характеристическое уравнение замкнутой системы автоматического регулирования в виде:

. (6)

Характеристическое уравнение может быть получено путем выделения знаменателя передаточной функции (1) и приравнивания его к нулю.

По характеристическому уравнению составляется таблица Рауса.

Таблица 2.6 – Таблица Рауса

					…
					…
					…
					…
					…

В первых двух строках таблицы записывают коэффициенты характеристического уравнения. Любой из коэффициентов при i (k – номер столбца, i – номер строки) находится по формуле

, ( 7)

где .

Число строк таблицы Рауса на единицу больше степени характеристического уравнения. Если при вычислении индекса получается отрицательное число, то соответствующий коэффициент равен нулю.

Критерий устойчивости Рауса формулируется следующим образом. Для устойчивости замкнутой системы автоматического регулирования необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса были положительными, т.е. чтобы >0; >0; …; >0. Если при расчете в предпоследней строке первого столбца таблицы получится нуль, это значит, что система находится на границе устойчивости.