6. Замечательные пределы.

Первый замечательный предел

Второй замечательный предел

Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

Кроме, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

Пример. Найти предел:

Пример. Найти предел:

Пример. Найти предел: .

Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.

Тогда

Пример. Найти предел: .

Домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: = .

Пример. Найти предел:

Пример. Найти предел:

Разложим числитель и знаменатель на множители, тогда

Тема 5. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Лекция № 6. Тема: Производная функции и дифференциал.

План:

1. Понятие производной функции. Ее физический и геометрический смысл. Понятие дифференциала функции.

2. Основные правила дифференцирования.

3. Таблица производных.

4. Производная сложной функции.

1. Понятие производной функции. Ее физический и геометрический смысл.

Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимо от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.

Определение. Производной функции в точке называется предел отношения ее приращения в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

или

Отсюда – угловой коэффициент касательной к графику функции в точке

Геометрический смысл производной: производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Физический смысл производной: производная функции в точке характеризует скорость ее изменения в окрестности этой точки. Отсюда следует, что если то

2. Основные правила дифференцирования.

1. Производная постоянной равна нулю, т. е. c^/=0

2. Производная аргумента равна единицы, т. е. x^/=1

3. Производная алгебраической суммы конечного числа функций равна сумме производных этих функций, (u+v)^/=u^/+v^/

4. Производная от произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производно первой функции на вторую плюс произведение первой функции на производную второй функции, т. е. (uv)^/=u^/v+uv^/

5. Производная частного двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

6. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т. е. (cu)^/=cu^/

7. Производная нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, т.е. (uvw)^/=u^/vw+uv^/w+uvw^/

3.Таблица производных

Номер формулы	Функция	Производная
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

4. Производная сложной функции.

Теорема (о производной сложной функции).

Пусть функция дифференцируема в некоторой точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , тогда сложная функция дифференцируема в точке и .

Пример. Найти производную функции .

Это сложная функция:

Поэтому