Примеры на умножение матриц

Пример 1.

Найти матрицу C равную произведению матриц A =		4	2		и B =		3	1		.
		9	0				-3	4

Решение:

С = A · B =		4	2		·		3	1		=		6	12
		9	0				-3	4				27	9

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

c₁₁ = a₁₁·b₁₁ + a₁₂·b₂₁ = 4·3 + 2·(-3) = 12 - 6 = 6

c₁₂ = a₁₁·b₁₂ + a₁₂·b₂₂ = 4·1 + 2·4 = 4 + 8 = 12

c₂₁ = a₂₁·b₁₁ + a₂₂·b₂₁ = 9·3 + 0·(-3) = 27 + 0 = 27

c₂₂ = a₂₁·b₁₂ + a₂₂·b₂₂ = 9·1 + 0·4 = 9 + 0 = 9

Пример 2.

Найти матрицу C равную произведению матриц A =

2   1   -3   0   4   -1

и B =

5   -1   6   -3   0   7

.

Решение:

C = A · B =

2   1   -3   0   4   -1

·

5   -1   6   -3   0   7

=

7   -2   19   -15   3   -18   23   -4   17

Элементы матрицы C вычисляются следующим образом:

c11 = a11·b11 + a12·b21 = 2·5 + 1·(-3) = 10 - 3 = 7

c12 = a11·b12 + a12·b22 = 2·(-1) + 1·0 = -2 + 0 = -2

c13 = a11·b13 + a12·b23 = 2·6 + 1·7 = 12 + 7 = 19

c21 = a21·b11 + a22·b21 = (-3)·5 + 0·(-3) = -15 + 0 = -15

c22 = a21·b12 + a22·b22 = (-3)·(-1) + 0·0 = 3 + 0 = 3

c23 = a21·b13 + a22·b23 = (-3)·6 + 0·7 = -18 + 0 = -18

c31 = a31·b11 + a32·b21 = 4·5 + (-1)·(-3) = 20 + 3 = 23

c32 = a31·b12 + a32·b22 = (4)·(-1) + (-1)·0 = -4 + 0 = -4

c33 = a31·b13 + a32·b23 = 4·6 + (-1)·7 = 24 - 7 = 17

Определение. Транспонирование матрицы - это операция над матрицей, при которой ее строки и столбцы меняются местами:

(a_ij) ^T= a_ji

Определение. Обратная матрица A⁻¹ - матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:

A·A^-1 = A^-1·A = E

Обратная матрица для матрицы - го порядка имеет вид:

.

Замечание. Обратная матрица существует только для квадратных матриц определитель которых не равен нулю.

Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную, причем одну.

Определение. Квадратная матрица называется невырожденной, если . Если , то называется вырожденной.

Пример. по свойству 6 определителей, то есть – вырожденная.

, значит, – невырожденная.

Пример. Найти матрицу, обратную для .

=3 существует.

Проверка: