Глава 5. Надежность восстанавливаемого элемента

Значительная часть элементов металлургического оборудо-вания при отказах не заменяется на новые, а восстанавливается.

В качестве примера рассмотрим линию привода прокатных валков, включающую узел валков, узел шпиндельного соединения, шестеренную клеть.

Линия привода, принятая за элемент при анализе надежно-сти, является восстанавливаемым элементом, так как любой отказ устраняется путем замены либо конкретной детали , либо узла, в состав которого входит отказавшая деталь. Если же линию приво-да при анализе надежности считать системой, а входящие в нее узлы - элементами и отказы устраняются путем замены узлов, то такая система называется восстанавливаемой, а элементы (узлы) - невосстанавливаемыми.

Например, при износе вкладышей универсального шпинделя происходит замена шпинделя в сборе. Шпиндель в сборе принят за элемент.

Возможен вариант, когда отказы устраняются путем восста-новления элемента (узла), а не его заменой. Например, в элемен-те (узел шпинделя) заменяются вкладыши. Тогда такой элемент называется восстанавливаемым.

При анализе надежности восстанавливаемого элемента рас-сматриваются два случая:

• мгновенное восстановление (когда время восстановления мало и им можно пренебречь);

• конечное время восстановления.

Будем различать два типа восстановления - замену и ре-монт. Предполагаем, что восстановление полное, т.е. после вос-становления элемент имеет такую же надежность, что и в началь-ный момент.

1. Восстанавливаемый элемент

• случае мгновенного восстановления

Рассмотрим случай мгновенного восстановления.

Пусть 0<t₁<t₂<…..<t_n - последовательные моменты отказов (и восстановлений) элемента, a ξ₁=t₁; ξ₂=t₂-t₁;_……ξ_n=t_n-t_n-1…- время без-

43

отказной работы до первого отказа, после первого восстановле-ния, второго восстановления и т.д.

Последовательность случайных моментов t₁, t₂,… t_n называ-ют процессом восстановления, а раздел теории надежности, в ко-тором изучается этот процесс, называют теорией восстановления.

Характеристики процесса восстановления являются харак-теристиками надежности восстанавливаемого объекта. Основные из этих характеристик следующие:

- число отказов до момента t - ν (t), имеющее распределение:

P[ν(t) = r]= Fr (t) − Fr +1(t),

(5.1)

где

F_r (t ) = P[t_r < t ];

- функция восстановления (поток отказов) - среднее число отказов до момента t - H(t), Ω(t):

∞
H (t ) = M ν (t ) = ∑ Fк (t ).	(5.2)

к =1

Отсюда среднее число отказов на интервале [t₁ t+ x] равно

H(t+x)-H(t);

- интенсивность отказов (плотность восстановления) – h(t),

ω(t)

∞
h(t ) = H 1 (t ) = ∑ fk ( t ) .	(5.3)

k =1

Интенсивность отказов (параметр потока отказов) имеет двойной смысл.

С одной стороны, h(t) есть среднее число отказов за малую единицу времени, следующую за моментом t. С другой стороны, h(t) есть вероятность отказа за малую единицу времени;

- остаточное время жизни – ξ_t – это интервал от момента t до ближайшего справа отказа.

Как известно , наработки на отказ сложных технических сис-тем распределены по экспоненциальному закону.

В этом случае число отказов в интервале продолжительно-стью t является случайной величиной, распределенной по закону

44

Пуассона. Процесс восстановления будет пуассоновским процес-сом.

Во многих случаях восстанавливаемый элемент функциони-рует в течение времени t, которое во много раз больше средней наработки на отказ. В этом случае среднее число отказов на ин-тервале [0, t] приближенно равно

	t		σ 2 − T 2	(5.4)
H (t ) ≈ T +			2T 2.

Если элемент восстанавливается путем замены входящей в его состав отказавшей части ( например, вкладыш в шпиндельном соединении) и функционирует время t, то ν(t)≤n₀ есть число запас-ных элементов, необходимых для непрерывной работы элемента до момента t. Тогда

n =		t	+ u	q	σ 2 ⋅t		,
0	T				T	3

где u_q - квантиль берется из табл.1 прил.Б, Среднее остаточное время

Mξ_t = ^T + ^{σ 2} .

2 2T

(5.5)

q = 0,95...0,975 .

(5.6)

Пример 5.1. Восстановление работоспособного состояния шпиндельного соединения осуществляется путем замены ком-плекта изношенных вкладышей со средней наработкой Т=46 сут и среднеквадратичным отклонением σ=14 сут.

Определить среднее число замен, необходимых для непре-рывной работы шпиндельного соединения в течение года и в тече-ние месяца.

Решение.

Подставляя исходные данные в формулу (5.5), получим

n

Г

=

365

+ u

142 ⋅365

= 7 ,93

+1,65 ⋅0,857

= 9,3

;

46

0 ,95

463

n

=

30

+ u

0

,975

142 ⋅30

= 0 , 65

+ 2 ⋅0,24

=113,.

М

46

463

З начение квантили u_q находим из табл.3, прил.Б.

45

5.2. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона является дискретным (рис.5.1) с распределением

P [ν (t ) = r ] =	µ rr exp( − µ r )	,	(5.7)
	r!

где µ_r=λt.

При µ→ ∞ распределение Пуассона приближается к нор-мальному (см. рис .5.1).

Среднее число отказов до момента времени t

	M ν (t ) = µr = H (t ) = λt.			(5.8)
Интенсивность отказов
	h(t)=λ,			(5.9)
т.е. среднее число событий, появляющихся в единицу вре-
мени, есть величина постоянная.
Дисперсия
	Dν(t) = µr .
Коэффициент асимметрии
	A =	1 .
		µr
Эксцесс	Е =	1	.
Коэффициент вариации		µr
		1 .
	ν =
		µr

П араметр пуассоновского распределения µ _r. равен одновре-менно математическому ожиданию и дисперсии случайной вели-чины.

46

Распределение Пуассона позволяет подсчитать вероят-
ность отказов менее r, или равных r, за определенный промежуток
времени:
P ( r )
0,3
0,25			µ=2
0,2
0,15
						µ=5
0,1
0,05
0	1	2	3	4	5	6	r
P ( r )
0,1		µ =10
0,08			µ = 25

0,06

µ = 40

0,04

0,02

0
	10	20		30		40	50				60	r
	Рис.5.1. Распределение Пуассона
	P ν	( t ) ≤ r = ∑r			exp (− µ r )⋅ µrr					,		(5.10)
						r!
			0

47

и вероятность отказов более r:

				r	exp	(	−µ	∗µr
P ν ( t )> r =1−P ν (t)≤ r =1−∑							r )	r	. (5.11)
				0			r!

Данные зависимости можно использовать для определения гарантированного количества запасных частей, предотвращающее

их истощение за определенный промежуток времени.

Пример 5.2. По данным примера 5.1. определить гарантиро-ванное количество запасных частей на 1 месяц.

Решение.

Определяем вероятность того, что за месяц потребуется не более одной замены (r=1).

r exp

(

− µ

r )

∗ µr

P ν ( t ) ≤ 1

= ∑

r

;

r!

0

P ν ( t ) ≤ 1 =

exp( −113,

)* 113,0

+

exp( −113, )* 113,1

= 0,73.

1

1

Из примера 5.1 µ_r=1,13.

То есть вероятность того, что потребуется только одна за-мена, не так высока и существует риск, равный 27%, что одного комплекта вкладышей окажется недостаточно для обеспечения работоспособного состояния.

Определим вероятность появления за месяц более 2 отка-

зов:

P ν ( t )> 2 =1−P ν(t ≤2) =1−(0,73+^{exp(−113,)*113,2} )=0,06.

2

То есть остается риск, равный 6%, что наличие двух ком-плектов вкладышей не обеспечит гарантированное работоспособ-ное состояние.

При наличии 3 комплектов вероятность их истощения равна 0:

P ν ( t )> 3 =1−(0,94+		exp(−113,)*113,3	)=0.
		2*3

Поэтому возможная политика пополнения запасных ком-плектов вкладышей может состоять в следующем: с учетом вре-мени на изготовление вкладышей создается их полугодовой запас

48

в количестве 5 комплектов (см. пример 5.1). В дальнейшем не до-пускается снижение запаса комплектов вкладышей менее 3.

В общем случае принятие риска в 27, 6 или 0% определяет-ся экономической составляющей потерь производства и требует соответствующего обоснования.

Пример 5.3. Наработки 6-й секции транспортного рольганга подчиняются экспоненциальному закону с параметром λ =0,016.

1. Определить вероятность появления хотя бы одного отказа за 120 сут.

2. Определить вероятность появления за этот же срок не менее 2-х отказов.

Решение.

Если наработка на отказ имеет показательное распределе-ние, то число отказов в заданном интервале описывается распре-делением Пуассона.

Подставляя исходные данные в формулу (5.10), получим

значение вероятности появления хотя бы одного отказа
			P	(	r >1 =1 − P ν							(	t		)		≤1 =1 −				0,525 =				0,475		.
							)				(							)
P ν	t	)	≤ 1 = P			(	r = 0	)	+ P	(	r = 1 =					exp ( − λ ⋅ t ) ⋅					(λ ⋅t )o			+	exp ( − λ ⋅ t ) ⋅λ ⋅t					=
(	(		)									)						1							1
( 0 ,016 ⋅ 1001o ⋅exp ( − 0,016										⋅100))
														+			0 , 016 ⋅ 100 ⋅exp ( − 0,016 ⋅100)												= 0,525.
						1															1
	Вероятность появления не менее 2-х отказов получим из
формулы (5.11).
																		( λ ⋅t )o				(λ ⋅t )1				(λ ⋅t )2
			P(r ≥ 2) =1−exp(−λ ⋅t )																	+				+					=
																		1			1					1⋅2

= 1 −0, 2(1 +1,6 +1,28) = 0,224.

Значение P(ν(t)=n) можно находить из табл.7 прил.Б.

3. Восстанавливаемый элемент

• конечным временем восстановления

Предположим, что время восстановления элемента конечно и им пренебречь нельзя. Тогда последовательные интервалы без-отказной работы, как и в предыдущем случае (мгновенное восста-

49

новление), обозначим через ξ₁, ξ₂,…ξ_n, а последовательные участ-ки восстановления через η₁, η₂,…η_n.

Предполагаем, что все величины ξ_i и η_i независимы в сово-

купности:		Dξ i=σ12;
P(ξ i<t)=Q(t);	Mξ i=T1;
P(η i<t)=G(t);	Mη i=T2;	Dη i=σ22.

В этом случае моменты отказов и моменты восстановлений не совпадают. Обозначим число отказов до момента t -ν ₁(t), число восстановлений до момента t - ν₂(t). Тогда среднее число отказов и восстановлений

H₁(t)=Mν₁(t); H₂(t)=Mν₂(t).

Эти величины могут описываться формулами, аналогичными формулам предыдущего параграфа.

Остаточное время ξ_t определяется здесь несколько иначе: ξ_t =0, если момент t попал на участок восстановления; в про-

тивном случае ξ_t есть время до первого после момента t отказа.

Тогда		T1
P ( ξ t > 0 ) =			= КГ	(5.13)
	T1
		+T2

есть величина, называемая коэффициентом готовности , характе-ризующая вероятность того, что в наугад взятый момент в стацио-нарном режиме элемент будет исправен.

Для элемента с конечным временем восстановления важную роль играет еще одна характеристика, которую обычно называют суммарной наработкой S_t, - суммарное время работы элемента до момента t

MS t ≈		T1	×t.	(5.14)
	T1
		+ T2

Пусть h_x есть момент, в который суммарная наработка дос-тигнет величины x, тогда справедлива следующая формула:

Mh ≈

T1 +T2

⋅ x.

(5.15)

^x T₁

Пример 5.4. Средняя наработка линии привода валков про-катной клети Т = 30 сут. Среднее время восстановления работо-способного состояния линии привода валков T₂ = 0,1 сут.

Определить коэффициент готовности линии привода валков.

50

Решение.

Коэффициент готовности определяем по формуле (5.13).

^КГ ⁼ _T1 ^T₊¹_T2 ⁼ ₃₀³⁰_+0,1 ^{= 0,997.}

Упражнения

1. Отказы в секции транспортного рольганга, состоящей из 20 роликов, происходят с интенсивностью λ=0,04=const. Восста-новление работоспособного состояния осуществляется путем за-мены ролика в сборе. Межремонтный период t_р=30 сут.

Определить вероятность появления хотя бы одного отказа в этот период. Определить вероятность появления одного отказа за тот же период.

2. Отказы в механизме уравновешивания шпинделей связа-ны с поломкой пружин и описываются экспоненциальным распре-делением с параметром λ=0,05. Межремонтный период t_р=30 сут.

Определить необходимое количество пружин на год.

3. Отказы шарнира универсальных шпинделей рабочей кле-ти прокатного стана описываются распределением Вейбулла с па-раметрами a=80 сут, b=3. Восстановление работоспособного со-стояния осуществляется путем замены комплекта вкладышей.

Определить необходимое количество комплектов вклады-шей на 1 месяц.

4. В результате осуществления технических мероприятий было достигнуто повышение средней наработки комплекта вкла-дышей (данные примера 3) в 2 раза. Коэффициент вариации ос-тался неизменным. Стоимость комплекта вкладышей возросла в

1,5 раза.

Определить, является ли эффективным проведенное меро-приятие (без учета затрат на замену и потерь производства).

5. Для условий примера 3 затраты на восстановление рабо-тоспособного состояния шарнира универсального шпинделя со-ставляют 10 усл.ед., потери производства 15 усл.ед. Стоимость комплекта вкладышей 200 усл.ед.

Определить, какие расходы можно понести на проведение мероприятий:

а) по повышению средней наработки в 2 раза.

и неизменном коэффициенте вариации.

б) по снижению коэффициента вариации в 2 раза и неизменной средней наработки.

51

6. Наработки подшипника скольжения механизма уравнове-шивания шпинделей описываются экспоненциальным распреде-лением с параметром λ=0,02.

Установить, на сколько должна быть повышена средняя на-работка до отказа, чтобы снизить расход подшипников за год в 2 раза.

6. Для условий примера 6 определить вероятность безотказ-ной работы подшипника скольжения в межремонтный период t_р=60 сут до и после повышения средней наработки.

6. Средняя наработка комплекта вкладышей шарниров уни-версальных шпинделей линии привода валков Т=50 сут. Межре-монтный период t=30 сут.

Определить гарантированное количество комплектов вкла-дышей на межремонтный период.

6. Ходовые колеса (в количестве 8 колес) механизма пере-движения моста крана имеют среднюю наработку T=600 сут. Ниж-няя, доверительная граница средней наработки Т=500 сут при до-верительной вероятности q=0,95.

Определить необходимое количество запасных колес на 1

год.

6. Медианное значение наработки подшипников скольжения