Глава 4. Распределения, используемые в теории надежности

4.1. Распределения и область их применения

Для анализа надежности машин в процессе эксплуатации необходимо иметь сведения о наработках до отказа элементов, на основании которых осуществляют оценивание показателей надеж-ности исследуемого объекта. Получение же оценок надежности основано на различных предположениях о законах распределения наработок до отказа.

24

Выдвижение гипотезы о принадлежности наработок к тому или иному распределению может основываться либо на изуче-нии физики явлений, приводящих к отказу, либо на основе ана-литического исследования статистических данных об отказах оборудования.

Исследование надежности металлургического оборудования показало, что наработки оборудования можно описать в большин-стве случаев следующими распределениями:

• экспоненциальным (показательным);

• нормальным;

• логарифмически нормальным;

• Вейбулла.

Экспоненциальное распределение характерно для внезап-ных отказов, когда элемент не стареет, а также для отказов слож-ных технических систем независимо от причины их возникновения.

Нормальным распределением описываются наработки, дли-тельность которых определяется процессами изнашивания (старе-ния).

Логарифмически нормальное распределение точнее, чем нормальное, описывает наработки до отказа вследствие развития усталости, а также время восстановления работоспособности из-делия.

Если элемент подвержен как внезапным, так и постепенным отказам, то наиболее приемлемым является распределение Вей-булла.

В каждом конкретном случае только на основании исследо-вания характера повреждения можно принять решение о принад-лежности полученных наработок к тому или иному распределению.

Например, мы исследуем надежность линии привода фор-мирующего ролика моталки стана горячей прокатки полос.

1

2

3

M

Рис.4.1. Кинематическая схема линии привода формирующего ролика моталки:

1. - карданный вал;

2. - подшипники качения;

3. - формирующий ролик

Опыт эксплуатации линии привода формирующего ролика показал, что отказы возникают по следующим причинам:

- износ бронзовых втулок в шарнире Гука;

25

• износ шлицевого соединения карданного вала;

• разрушение подшипника качения;

• износ бочки ролика;

• поломка цапфы ролика.

Примем в качестве элемента, надежность которого изучаем, ролик. В этом случае наиболее вероятным является предположе-ние об использовании распределения Вейбулла, так как отказы ролика происходят как по износу бочки, так и по поломкам цапфы.

Для изучения надежности элемента - карданный вал - наи-более вероятным является использование нормального распреде-ления.

Если же мы хотим исследовать надежность элемента - под-шипника качения, то следует принять логарифмически нормаль-ное распределение, так как его разрушение есть следствие разви-тия усталостных трещин.

Исследование же надежности элемента - линии привода формирующего ролика – будет основываться на экспоненциаль-ном распределении, так как это сложная техническая система.

Принимаемые решения (гипотезы) не являются окончатель-ными и должны проходить проверку по критериям согласия*.

Распределения, используемые в теории надежности, назы-вают законами надежности.

4.2. Экспоненциальный (показательный) закон

Так называют распределение (рис.4.2), для которого

P ( t ) = e − λ t ;

(4.1)

Это однопараметрическое распределение с параметром λ - интенсивность отказов. Ввиду своей простоты оно получило широ-кое распространение при исследованиях надежности машин. Но произвольное его использование может приводить к грубым ошиб-кам.

Для экспоненциального распределения:
плотность вероятности отказов
f (t)= λe−λt ;	(4.2)
интенсивность отказов
λ(t) = λ = Const;	(4.3)

26

числовые характеристики:

λ =		1			;
		T
T = Mξ;				(4.4)
D =	1					;
	λ 2

• = _λ¹ ;

• = ^σ_T =1.

Коэффициент асимметрии A=2. Эксцесс Е=6.

Характерным признаком экспоненциального распределения является равенство коэффициента вариации ν единице. Экспонен-циальное распределение является распределением без последствий, так как λ = Const , т.е. вероятность отказа в каждую последующую еди-ницу времени остается неизменной сколько бы ни проработал безот-казно элемент до данного момента времени. Но необходимо отметить, что вероятность безотказной работы с течением времени снижается, т.е. чем дальше рассматривается момент времени от начала эксплуа-тации, тем меньше вероятность того, что объект будет находиться в работоспособном состоянии (см. рис.4.2).

Но если объект не отказал к рассматриваемому моменту време-ни, то вероятность его отказа в последующую единицу времени будет та же, что и в начальный момент эксплуатации.

Пример 4.1. Наработка пружин механизма уравновешивания верхнего шпинделя имеет экспоненциальное распределение со сред-ней наработкой Т =40 сут.

Построить график плотности данного распределения и функцию распределения.

Решение.

Построение графиков осуществляем, используя формулы

(4.1) - (4.3) .

27

			- ln P(t)	tgα = λ
а
а
0,368				α
	1/ λ		0	t
0	1/	λ		t

	б
б	λ
		1
	0	1/	λ	t
	λ(t)
			λ = const
в	в
	0			t
		Рис.4.2. Экспоненциальное распределение:
			a – вероятность безотказной работы;
			б – плотность вероятности отказов;
			в – интенсивность отказов

28

Плотность вероятности отказа (плотность функции распределения)

10
f (t = 10) = 1 e− 40		= 19,4 ×10		−3 ;
40					f (t)	10-3
f(t=20)=15,2*10-3;					25
f(t=30)=11,8*10-3;					20
f(t=40)=9,2*10-3;					15
f(t=50)=7,2*10-3;					10
f(t=60)=5,6*10-3;					5
f(t=70)=4,3*10-3;
f(t=80)=3,4*10-3.					0	10	20	30	40	50	60	70	80	t,сут
Плотность отказа (функция Q(t)
распределения)					1
		10
Q (t = 10 ) = 1 − e	−		= 0,22 ;		0,8
		40
					0,6
Q(t=20)=0,393;					0,4
Q(t=30)=0,528;					0,2
Q(t=40)=0,632;					0	10	20	30	40	50	60	70	80	t,сут
Q(t=50)=0,713;
Q(t=60)=0,777;
Q(t=70)=0,826;
Q(t=80)=0,865.

Пример 4.2. В линии привода формирующих роликов мотал-ки происходят внезапные отказы роликов.

Определить, в какой момент времени может быть обеспече-на вероятность безотказной работы P(t) = 0,8, если в межремонт-ный период t = 30 сут вероятность отказа Q(t) = 0,632.

Решение.

Из-за отсутствия другой информации предполагаем, что на-работки роликов описываются экспоненциальным распределением (отказы происходят внезапно).

Для экспоненциального распределения значение Q(t) = 0,632 соответствует моменту времени, равному средней наработке:

t_p=T.

Для экспоненциального распределения

P (t ) = e ^−λt ,

29

отсюда

t = − _λ¹ ln P (t ) = −T ln P (t );

тогда

t=-30ln0,8 = 6,7 сут.

4.3. Нормальный закон

Нормальное распределение – это двухпараметрическое распределение (рис.4.3) с плотностью

f (t) =	1		(t − µ)2
	σ π	exp −	2σ 2		,	(4.5)
	2

где µ, σ - параметры распределения.

Вероятность безотказной работы

P(t) = 0,5	t −		µ
	− Φ			,	(4.6)
		σ

где (t-µ)/σ = u_q - квантиль нормированного распределения.

Вероятность попадания в интервал [α, β] выражается фор-мулой

	β − µ			α − µ
P[α < t < β]= Φ			− Φ		.
	σ			σ

Свойства функции Лапласа Ф(x):

1. Ф(0) = 0; 2.Ф(-x)=- Ф(x); 3. Ф(± ∞)=±0,5.

Интенсивность отказов

_λ( _t ) ₌ ^{ϕ (u )} _,

σ·P ( t )

(4.7)

(4.8)

30

				u	=	t − µ
						σ
где ϕ (u) - табличное значение (см. табл.2).
	P(t)			σ = 0.5
				σ =1
						σ = 2
	0		µ =1		a		t
	f (t)
					σ1	= 0.5
	1
σ *	2π
						σ 2	=1
			σ2	σ1	σ1	σ2	σ3 = 2
	0	µ =1	σ3		б	σ3
	λ(t)			σ = 0.5		σ =1
							σ = 2σ = 1
	0		µ =1				t
				µ = 2			в

Рис.4.3. Нормальное распределение: а – вероятность безотказной работы; б – плотность вероятности отказов; в – интенсивность отказов

31

Числовые характеристики распределения: средняя наработка

T=Mξ=µ;

дисперсия

коэффициент вариации

D=σ2;

σ

ν =

;

µ

коэффициент асимметрии

А =0;

эксцесс

E =0.

Строго говоря, в теории надежности должен использоваться

усеченный (слева) нормальный закон (рис.4.4) с плотностью

c

( t − µ2 )

2

(4.9)

f ( t) =

σ

⋅exp −

,

2π

2σ

так как наработки являются неотрицательными величинам, где

−

µ

(4.10)

C = 1 −Ф

σ

.

Вероятность безотказной работы

t −µ

P(t) = C ⋅ 0,5−Φ

;

(4.11)

σ

Интенсивность отказов

t -

µ

−1

0,5

− Ф

2

λ(t )=

σ

(t − µ)

.

(4.12)

2

σ ⋅

2π

⋅ exp −

2σ

;

Н а графике рис .4.4 видно, что с увеличением срока эксплуа-тации интенсивность отказов растет, т.е. снижается надежность изделия.

Для усеченного нормального распределения при (µ /σ)>3 ха-рактеристики практически совпадают с нормальным распределе-нием

µ/σ	1	2	3
C	1,189	1,023	1,001

32

P(t)
1
0,5
0						t
µ = 1
µ = 2
µ = 3
	µ = 4
f(t)
С
2π
µ = 0
µ = 1		µ = 2	µ = 3
1	2	3		4	5	t
λ ( t )		µ=0	µ=1	µ=2	µ=3
5
4
3
2
1
0						t
2		4			6
Рис.4.4. Усеченное (слева) нормальное распределение :
а - вероятность безотказной работы;
б – плотность вероятности отказов;
в – интенсивность отказов

33

Поэтому широко используются более простые зависимости нормального распределения для стареющих элементов.

Пример 4.3. Ролики транспортного рольганга имеют наработ-ки, распределенные по нормальному закону с математическим ожи-данием µ =350 сут и средним квадратичным отклонением σ=50 сут.

1. Найти вероятность безотказной работы роликов на 300

сут.

2. Построить график интенсивности отказов.

3. Если вероятность появления отказов в процессе эксплуа-тации не должна превышать 20%, то через какой период времени необходимо проводить их замену?

Решение.

Вероятность безотказной работы находим по формуле (4.6).

P(t = 300)= 0,5 −Ф ^{300 −350} = 0,5 + 0,341 = 0,841.

50

Функцию Лапласа Φ ((t-µ)/σ) находим из табл. 1 прил. Б для функции нормированного нормального распределения. Построе-ние графика интенсивности отказов осуществляем, используя формулу (4.8).

Так как из условия задачи вероятность отказа Q(t)=0,2, то вероятность безотказной работы P(t)=0,8.

Тогда табличное значение квантили u_0,8 нормального рас-

пределения равно (-0,842) из табл.3. прил.Б. Следовательно, за-мену роликов необходимо проводить через

t = 350 −u_{0 ,8} ⋅50 = 350 − 0,842 ⋅50 = 308 сут.

Пример 4.4. Наработки шарнира универсального шпинделя описываются нормальным распределением с математическим ожиданием µ=40 сут и средним квадратичным отклонением σ=20 сут.

Определить, при какой величине µ (σ=const) и при какой ве-личине σ (µ=const) будет обеспечена в межремонтный период t_p=30 сут вероятность отказа Q (t=30)=0,1.

Решение.

Для обеспечения заданной вероятности отказа u_q=0,9 = −1,28 (табл.3, прил.Б), тогда

34

^{t −}_σ^µ = −1 . 28,

отсюда

µ = t + 1,28σ = 30 + 1,28 × 20 = 55 ,6 сут;

σ = −	t − µ	=	30 − 40	= 7 ,8 сут.
			1, 28
1, 28

Следовательно, для обеспечения вероятности безотказной работы P(t=30)=0,9 необходимо выполнить мероприятия либо по повышению средней наработки шарнира универсального шпинде-ля в 1,4 раза, либо по снижению стандарта до 7,8 сут.

Как правило, повышение средней наработки связано с суще-ственными затратами, направленными на повышение износостой-кости.

Величина среднего квадратичного связана с нарушениями технологического процесса получения материала, процесса изго-товления изделия и правил его технической эксплуатации.

Поэтому достижение более низких значений среднего квад-ратичного является следствием не только чисто технических, но и организационных мероприятий.

4.4. Логарифмически нормальный закон

Логарифмически нормальное распределение – распределе-ние двухпараметрическое (рис.4.5) с плотностью распределения

f (t) =	1		(ln t − m)2
		exp −			;	(4.13)
	σ ×t × π		2σ	2

где σ и m - параметры распределения.

Вероятность безотказной работы

	ln t − m			(4.14)
P ( t ) =	0 ,5 − Φ		.
		σ

Интенсивность отказов

		ln t − m
	ϕ
			σ
λ ( t ) =					.	(4.15)
		t × σ × P ( t )

35

P(t)

1

0,8

0,6

0,4µ = 0	µ =1 µ = 2 µ = 3
0,2

0

а

f(t)

µ = 0

µ = 0,5

µ =1

0

б

λ(t)

µ = 0

µ = 0,5

µ =1

0

в

t

t

t

Рис.4.5. Логарифмически нормальное распределение: а – вероятность отказов; б – плотность вероятности отказов; в – интенсивность отказов

Для логарифмически нормального распределения характер-но возрастание интенсивности отказов с увеличением срока экс-плуатации.

36

Числовые характеристики:

средняя наработка
					σ 2			(4.16)
T =	exp		m	+			;
					2
дисперсия				−1);
D = e 2m+σ 2 (eσ 2								(4.17)
коэффициент вариации
	ν =		σ 2	−1 .
			e

Пример 4.5. Наработка до отказа подшипника скольжения механизма уравновешивания шпинделей имеет логарифмически нормальное распределение с параметрами m=4, σ=1.

1. Найти вероятность безотказной работы и интенсивность отказов при наработке t =60 сут.

2. Определить величину средней наработки.

Решение.

Подставляя в формулу (4.14) численные значения m, σ и t, получим

P(t = 60) = 0,5 −Φ ^{ln 60−4} = 0,5 −0,036 = 0,464,

1

где Ф_(0,04)=0,036 из табл.1 прил.Б нормированного нормаль-ного распределения.

Используя выражение (4.15), находим интенсивность отка-

зов.	ln 60		− 4
	ϕ					0,3973
		1
λ (t ) =					=		= 0,014 ,
	60 × 1 × 0,464					60 × 0,464

где Ф_(0,04)=0,3973 из табл.2 прил.Б.

Значение величины средней наработки находим по формуле

(4.16)

20. = exp 4 + ¹² = 90 сут. 2

37

4.5. Закон Вейбулла

Закон Вейбулла - это двухпараметрическое распределение (рис.4.6) с плотностью отказов

f (t) =	b	t b−1				t b
		×			exp −				,
	a
		a				a

где b - параметр формы; a - ресурсная характеристика.

Вероятность безотказной работы

P (t ) = exp			t b
		−			.
			a

Интенсивность отказов

λ (t ) =	b		tb −1
		×		.
	a
			a

Числовые характеристики:

средняя наработка

20. = a × Γ 1 + ¹ ; b

дисперсия

D =

a

2

2

2

1

Γ 1

+

− Γ

1

+

;

b

b

коэффициент вариации

2

2

1

Γ 1

+

− Γ

1

+

D

b

b

C b

ν =

=

=

.

T

1

1

Γ 1

+

Γ

1

+

b

b

(4.18)

(4.19)

(4.20)

(4.21)

(4.22)

(4.23)

38

P(t)
1
0,8
0,6
0,4
0,368				b = 0,5
0,2
				b = 1
0	b = 4			b = 2
	1	а	2	t
а=1
f (t)			a =1
			b = 4

		a =1
		b = 2
		a = 2
		b = 2
0	1 б	2	t
λ (t )
	b > 2	b = 2
		2 > b >1

0

b =1

b = 0.5

в ^t

Рис.4.6. Распределение Вейбулла:

а – вероятность безотказной работы; б – плотность вероятности отказов; в – интенсивность отказов

39

Для закона Вейбулла интенсивность отказов имеет различ-ный характер изменения с течением времени в зависимости от па-раметра b.

При b =1 интенсивность отказов есть величина постоянная и распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное распре-деление.

Для b=2 распределение Вейбулла переходит в распределе-ние Релея, и интенсивность отказов описывается уравнением пря-мой

λ ( t ) =	1			t	.	(4.24)
	2 σ	2 ×

Для b>2 интенсивность отказов растет с течением времени. Если же b<1, интенсивность с течением времени снижается, что, как указывалось выше, характерно для начального периода экс-плуатации новых изделий.

Пример 4.6. Наработка 7 секции транспортного рольганга имеет распределение Вейбулла с параметрами a=60 сут, b =l,9.

Найти вероятность безотказной работы и интенсивность от-казов при наработке t= 40 сут.

Найти среднюю наработку на отказ. Решение.

Подставляя исходные данные в формулу (4.19), получим

P ( t = 40 ) = exp		−		40		1 , 9		= 0 , 629
						.
				60

Интенсивность отказов находим по формуле (4.20)

λ (t =	40 ) =	1,9	40			1, 9 −1
		40	×	60		= 0 ,022 .

Средняя наработка на отказ в соответствии с формулой

(4.21)

T				1
	= 60	× Γ 1	+				= 60 × 0,887	= 53 ,22 сут.
				1,9

где Г(1+1/1,9) - гамма-функция, значение которой находится из табл.6. прил.Б.

4.6. Непараметрические классы распределений наработки

40

Рассматривая вышеприведенные распределения, мы виде-ли, что интенсивность отказов λ(t) может быть как возрастающей, так и убывающей. Поэтому в основу классификационных призна-ков распределений наработки можно положить характер измене-ния интенсивности отказов. И в этом случае различают:

• распределения с возрастающей функцией интенсивности отказов (ВФИ - распределения);

• распределения с возрастающей в среднем функцией ин-тенсивности отказов (ВСФИ - распределения').

В классе ВСФИ-распределений содержатся, например, усе-ченное нормальное, экспоненциальное, Вейбулла при значении параметра формы b>1.

ВФИ- и ВСФИ-распределения являются непараметрически-ми, когда неизвестен вид функции распределения – F(t).

Наработки можно отнести к классу ВСФИ при работе изде-лия в условиях ударных нагрузок. Предполагается, что система подвергается воздействию ударов, которые возникают случайным образом и вызывают повреждения (перегрузки) системы. Повреж-дения накапливаются до тех пор, пока не будет достигнут или пре-взойден некоторый критический уровень, при этом в системе на-ступает отказ (постепенный).

Упражнения

1. Средняя наработка подшипника скольжения уравновеши-вания шпинделей равна 44 сут. Вероятность безотказной работы в момент времени t=44 сут, P(t)=0,368.

Определить вероятность отказа в межремонтный период t_p=30 сут.

2. Секция транспортного рольганга содержит 20 роликов. Наработки роликов описываются распределением Вейбулла с па-

раметрами a=150, b=2.

Определить возможное число отказов роликов: а) на интервале [0, 120] сут; б) на интервале [120, 150] сут;

в) на интервале [120, 150] сут при безотказной работе до момента времени t=120 сут.

2. Известно, что время восстановления работоспособности линии привода валков описывается логарифмически нормальным распределением m=0,5, σ=0,2.

41

Определить среднее время восстановления работоспособ-ного состояния и вероятность восстановления работоспособного состояния за 2 ч.

4. Зубчатые муфты распределительного редуктора в количе-стве 5 шт. выходят из строя по износу. Известно, что их средняя наработка T=100 сут, стандарт. σ=30 сут.

Определить возможное число отказов муфт в межремонтный период t=60 сут.

4. По условиям примера 4 определить возможное число от-казов муфт в следующий межремонтный период, если принято решение не проводить текущий плановый ремонт.

5. Наработки секции транспортного рольганга описываются распределением Вейбулла с параметрами a=60, b=2,0. В межре-монтный период t_p=60 сут отказов не было. Было принято решение не проводить плановый ремонт.

Определить число отказов секции в следующий межремонт-ный период.

4. По условиям примера 6 определить величину средней на-работки и интенсивность отказов в конце межремонтного периода.

5. По условиям примера 6 найти показатели безотказности в момент времени t=50 сут.

4. Наработка пружин механизма уравновешивания верхнего шпинделя описывается экспоненциальным распределением с па-раметром λ=0,025.

В какой момент времени с начала эксплуатации вероятность безотказной работы будет равна 0,8 и какова вероятность отказа в данный момент времени?

4. Наработки подшипников качения механизма уравнове-шивания шпинделей описываются логарифмически нормальным распределением с параметрами m=5,5, σ=1.

Найти интенсивность отказов в момент времени t=60 сут и вероятность отказа на интервале [60, 90] сут.

4. Карданные валы формирующих роликов моталки имеют ресурсную характеристику а=80 (сут) и коэффициент вариации

ν=0,6. Межремонтный период t=30 сут.

• определить вероятность отказа в межремонтный период

• определить вероятность отказа на 30 сутки

• определить возможное число отказов в следующий меж-ремонтный период, если в предыдущем отказов не было.

42