2. Основные элементы вероятностных расчетов

2.1. Алгебра событий

Задача 1. Привести пример эксперимента со случайными исходами из области Ваших предметных исследований:

• описать комплекс условий , при которых проводятся повторные испытания;

• определить термины: наблюдение, исход, совокупность всех исходов, совокупность исходов A, совокупность исходов B;

• определить термины: испытание, элементарное событие, пространство элементарных событий, событие А, событие В.

Задача 2. Доказать тождества для случайных событий:

- коммутативность ;

- ассоциативность ;

- дистрибутивность ;

- теоремы Де Моргана

a) ,

б) .

2.2. Основные формулы теории вероятностей

Задача 3. Вычислить вероятность события , если и , при:

а)

- по точной (биномиальной) формуле;

- по локальной формуле Муавра-Лапласа;

б)

- по точной (биномиальной) формуле;

- по приближенной формуле (асимптотической формуле Пуассона).

Для каждого случая оценить относительную ошибку вычислений по приближенным формулам.

Задача 4. Вычислить вероятность события при по:

- точной (биномиальной) формуле;

- приближенной формуле (интегральной формуле Муавра-Лапласа).

2.3. Дискретные случайные величины

Задача 5. Построить графики функции распределения и распределения вероятностей дискретных случайных величин:

а) биномиальной при ;

б) биномиальной при ;

в) пуассоновской при ;

г) пуассоновской при .

Вычислить математические ожидания и дисперсии этих величин.

Рекомендация

Использовать функцию MATLAB stem.

2.4. Непрерывные случайные величины

Задача 6. Построить графики функций распределения и плотности вероятности непрерывных случайных величин:

а) нормальной с математическим ожиданием 10 и среднеквадратическим отклонением 2;

б) релеевской с параметром ;

в) экспоненциальной с параметром ;

Вычислить математические ожидания и дисперсии этих величин.

Рекомендации

1. Использовать функции MATLAB: normpdf, exppdf;

2. Использовать функции MATLAB: pd=makedist(‘Reyleigh’, ‘b’, 2), w=pdf(pd,x).

2.5. Планирование статистического эксперимента

Задача 7. Какой объем выборки необходимо выбрать, чтобы относительная среднеквадратическая ошибка оценки функции распределения этой случайной величины эмпирической функцией распределения не превысила 5%.

Рекомендации:

Вычисления выполнить для значения функции распределения при аргументе, равном медиане.

3. Выбор функций распределения вероятностей для непрерывных случайных величин

3.1. Экспериментальное исследование распределений случайных величин (лабораторная работа)

Изучение и экспериментальное исследование вероятностных моделей физических (радиотехнических) величин и реальных процессов в системах передачи, приема и обработки сигналов, а также в системах и сетях связи. Основной применяемый метод - статистическое моделирование на персональных ЭВМ с применением системы для научных исследований MATLAB&SIMULINK.

Экспериментальное исследование методов математического описания непрерывных случайных величин методом статистического моделирования на ЭВМ с использованием системы научных и инженерных расчетов MATLAB предполагает выполнение следующих этапов работы:

- моделирование в схеме испытаний Бернулли выборки заданного объема случайной величины с известной плотностью вероятности;

- построение гистограммы;

- аппроксимация гистограммы теоретической кривой;

- построение эмпирической функции распределения и ее аппроксимация теоретической кривой;

- вычисление теоретических и статистических числовых характеристик (математического ожидания, дисперсии, начального момента второго порядка и их оценок).

Все студенты должны самостоятельно выполнить первые три пункта для гауссовской случайной величины и для случайной величины, заданной в индивидуальном варианте.