Математическая логика

6.1. Указать истинные высказывания 5 = 5, 5 ≠ 5, 5 > 5, 5 ≤ 5, 5 ≥ 5, 5 < 5, Х < 0, Х + 2 < 5,

Х + Х < 6, Х – Х = 0, Х ≥ 0.

6.2. Объясните , почему следующие предложения не являются высказываниями :

а ) « Какого цвета этот дом ?»;

б ) « Число Х не превосходит единицы »;

в ) «4 Х +3»;

г ) « Посмотрите в окно »;

д ) « Пейте томатный сок !»;

е ) « Вы были в театре ?»;

ж ) « Сумма числа 5 и Х равна 10».

6.3. Какие из следующих предложений являются высказываниями :

а ) « Л . Толстой – создатель романа « Война и мир »;

б ) « Какое сегодня число ?»;

в ) « Студенты первого курса физико - математического факультета сдали очередную сес -

сию без « хвостов »;

г ) « Москва – столица нашей Родины »;

д ) « Воронеж – самый крупный город России »;

е ) « В Сибири не бывает сильных морозов »;

ж ) « Сегодня прекрасная погода ».

6.4. Какие из следующих предложений являются истинными , а какие ложными высказы -

ваниями ?

а ) « Город Париж – столица Франции »;

б ) « Число 2 является делителем числа 7»;

в ) «3 + 5 = 2 × 4»;

г ) «2 + 6 > 10»;

- 119 -д ) « Сканер – это устройство , которое может напечатать на бумаге то , что изображено на

экране компьютера »;

е ) «II + VI > VIII»;

ж ) « Сумма чисел 2 и 6 больше числа 8»;

з ) « Мышка – устройство ввода информации ».

6.5. Какие из следующих слов являются формулами :

а ) (P&Q)R Q , б ) P ∪ Q → R, в ) ((Q → R) & P ),

г ) (( P → Q) ~ ( P & Q ) ).

6.6. Докажите с помощью таблиц истинности эквивалентность следующих формул :

Х ∪ (X&Y) = X;

X → Y = X ∪ Y.

6.7. Построить таблицы истинности для следующих формул :

а ) A ∨ ( B ∨ В ⇒ С );

б ) A & ( B & В ⇒ С );

в ) A ∨ ( B ∨ В ) & A ∨ ( B ⇒ С ).

6.8. Докажите с помощью таблиц истинности равносильность следующих высказываний :

а ) ( А ⇒ В ) & ( А ∨ В );

б ) ( А ⇔ В ) & ( А & В ) ∨ ( А & В ).

6.9. Докажите равносильности , построив таблицы истинности левой и правой частей :

а ) P&(P ∪ R) &(Q ∪ R) ≡ P&R ∪ P&Q;

б ) (P~Q) → P&R ≡ P&R ∪ P& Q ∪ Q& P .

6.10. Построить таблицу истинности для следующих формул :

а ) (( P → Q ) ∨ ( P → ( Q & P )));

б ) P → Q & P → ( P ∨ Q);

в ) (( P & ( Q → P )) → P );

г ) ((( P & Q ) → Q ) → ( P → Q ));

д ) (( P → ( Q → R )) → (( P → Q ) → ( P → R ));

е ) (( P & ( Q ∨ P )) & (( Q → P ) ∨ Q );

ж ) (( P → Q ) ∨ ( P → ( Q & P )));

з ) (( P & ( Q → P )) → P );

и ) ((( P & Q )) → Q ) → ( P → Q );

к ) (( P & ( Q → P )) → P );

л ) (( P & Q ) → Q ) → ( P → Q ).

6.11. Доказать тождественную истинность формул :

а ) (( P → Q ) ∨ ( Q → P ));

б ) (( P → Q ) ∨ ( P → Q ));

в ) ( P → ( Q → ( P & Q )));

г ) (( P → Q ) → (( Q → R ) → ( P → R )));

д ) (( P → Q ) → ( Q → P ));

е ) (( P → Q ) → (( P → Q ) → P ));

ж ) (( Q → P ) → ( Q → P ) → Q );

з ) ( Q → R ) → (( P ∨ Q ) → ( P ∨ R ));

и ) (( P → Q ) → (( P → ( Q → R )) → ( P → R )));

к ) ((( P → Q ) → P ) → P );

л ) ( P → ( P ∨ Q ));

м ) (( P & Q ) → Q ).

6.12. Доказать эквивалентность следующих формул :

а ) (( A & B ) ∨ (( A ∨ B ) & ( A ∨ B ))) ∼ ( A ∨ B );

б ) (( A ∨ B ) & ( A ∨ B )) ∼ A;

в ) ( A ∨ ( A & B )) ∼ ( A ∨ B );

- 120 -г ) ( A ∨ ( B & B )) ∼ A;

д ) ( A & ( B ∨ B )) ∼ A;

е ) (( A ∨ B ) & ( B ∨ C ) & ( C ∨ A )) ∼ (( A & B ) ∨ ( B & C ) ∨ ( C & A ));

ж ) A ∨ B ¬ ( A ∨ B ) ∼ ( A & B );

з ) A → B ∼ ( A & B );

и ) A & B ∼ ( A ∨ B );

к ) ( A ∨ ( B & B )) ∼ A;

л ) (( A ∨ B ) & ( B ∨ C ) & ( C ∨ A )) ∼ (( A & B ) ∨ ( B & C ) ∨ ( C & A ));

м ) (( A & B ) ∨ (( A ∨ B ) & ( A ∨ B ))) ∼ ( A ∨ B ).

6.13. Выяснить , является ли высказывание P & Q & (R ⇒ S) ∼ P ∪ ( Q ∪ R & S ) тавтологией .

6.14. С помощью таблиц истинности проверить , верны или нет формулы алгебры логики :

а ) А ∼ В = ( А ⊕ В ) ⊕ 1,

б ) А ∼ В = А ⊕ B ,

в ) А ∼ В = ( А & В ) ⊕ 1,

г ) А ⊕ В = ( А & В ) ∪ ( А & В ).

6.15. Запишите формулами алгебры высказываний следующие предложения :

а ) а ≥ 0;

б ) если запись числа заканчивается цифрой 0 или 5, то число делится на 5;

в ) если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся попо -

лам , то этот четырехугольник параллелограмм .

6.16. Запишите формулами алгебры высказываний следующие предложения :

а ) « Участник кружка не поймет сообщение , если он не разгадает код »;

б ) « Если студент написал контрольную работу на 5, то либо он был тщательно подготов -

лен к ней , либо ему помог друг »;

в ) « Учитель воспитывает не только словом , но и личным примером ».

6.17. Среди следующих высказываний укажите составные ; выделите в них простые , обозначив

каждое их них буквой ; запишите с помощью логических операций каждое составное высказывание .

а ) « Число 376 четное и трехзначное »;

б ) « Неверно , что Солнце движется вокруг Земли »;

в ) « Земля имеет форму шара »;

г ) « На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя и писали само -

стоятельную работу »;

д ) « Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3»;

е ) « Число 15 делится на 3 тогда и только тогда , когда сумма цифр числа 15 делится на 3».

6.18. Ниже приведена таблица , левая колонка которой содержит основные логические сою -

зы ( связки ), с помощью которых в естественном языке строятся сложные высказывания . Заполни -

те правую колонку таблицы соответствующими названиями логических операций .

В естественном языке

... и ...

... или ...

Неверно , что ...

... в том и только в том случае ...

... если ..., то ...

... тогда и только тогда , когда ...

... не ...

В логике

6.19. Постройте отрицания следующих высказываний :

а ) « Число 1 есть составное число »;

б ) « Натуральные числа , оканчивающиеся цифрой 0, являются простыми числами »;

в ) « Неверно , что число 3 не является делителем числа 198»;

г ) « Неверно , что любое число , оканчивающееся цифрой 4, делится на 4»;

д ) « Некоторые млекопитающие не живут на суше ».

6.20. Из каждых трех выберите пару высказываний , являющихся отрицаниями друг друга :

а ) «1999 < 2000», «1999 > 2000», «1999 < = 2000»;

б ) « Луна – спутник Земли », « Неверно , что Луна спутник Земли », « Неверно , что Луна

не является спутником Земли »;

- 121 -в ) « Прямая а не параллельна прямой с », « Прямая а перпендикулярна прямой с », « Пря -

мые а и с не пересекаются » ( считаем , что прямые а и с лежат в одной плоскости );

г ) « Мишень поражена первым выстрелом », « Мишень поражена не первым выстре -

лом », « Неверно , что мишень поражена не первым выстрелом ».

6.21. Найдите значения логических выражений :

а ) (1 ∨ 1) ∨ (1 ∨ 0);

б ) ((1 ∨ 0) ∨ 1) ∨ 1;

в ) (0 ∨ 1) ∨ (1 ∨ 0);

г ) (0&1)&1;

д ) 1&(1&1)&1;

е ) ((1 ∨ 0)&(1&1))&(0 ∨ 1);

ж ) ((1&0) ∨ (1&0)) ∨ 1;

з ) ((1&1) ∨ 0)&(0 ∨ 1);

и ) ((0&0) ∨ 0)&(1 ∨ 1).

6.22. Даны два высказывания : А = {2 × 2 = 4}, В = {2 × 2 = 5}. Очевидно , что А = 1, В = 0.

Какие из высказываний истинны ?

а ) А ; б ) В ; в ) А & В ; г ) A ∨ В ; д ) А ⇒ В ; е ) А ⇔ В .

6.23. При каких значениях числа X логическое выражение не (( X > 8 ) или (X < -3 )) примет

значение : а ) « истина », б ) « ложь »?

6.24. Какое логическое выражение описывает условие : « Точка Х не принадлежит отрез

ку [A; B]»?

а ) не ( Х ≥ A) или Х < B;

б ) Х < A и Х > B;

в ) не (X ≤ B и X ≥ A);

г ) X ≤ A или X ≥ B.

6.25. Определите истинность простых высказываний :

А = { Принтер – устройство ввода информации },

В = { Процессор – устройство обработки информации },

С = { Монитор – устройство хранения информации },

D = { Клавиатура – устройство ввода информации }.

Определите истинность составных высказываний :

а ) ( А & В ) & ( C ∨ D );

б ) ( А & В ) ⇒ ( C ∨ D );

в ) ( А ∨ В ) ⇔ ( C & D );

г ) А ⇔ В .

6.26. Даны простые высказывания : А = {5>3}, В = {2 = 3} и С = {4<2}.

Определите истинность составных высказываний :

а ) ( A ∨ B )& C ⇒ ( A & C ) ∨ ( B & C );

б ) ( A & B ) ∨ C ⇔ ( A ∨ C )&( A & B ).

6.27. Три друга , Андрей ( А ), Василий ( В ) и Степан ( С ), получили три путевки на три смены

в спортивный лагерь . Андрей имеет возможность поехать в лагерь в первую или вторую смену ,

Василий – в первую или третью , а Степан – во вторую или третью . Можно ли удовлетворить же -

лания троих и сколькими способами ?

6.28. Брауну , Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка . По -

хитители скрылись на поджидавшем их автомобиле . На следствии Браун показал , что преступники

скрылись на синем « бьюике », Джонс сказал , что это был черный « крайслер », а Смит утверждает ,

что это был « Форд Мустанг » и ни в коем случае не синий . Стало известно , что , желая запутать

следствие , каждый из них указал правильно либо только марку машины , либо только ее цвет . Ка -

кой марки и цвета был автомобиль ?

6.29. Друзья X, Y, Z, U, V должны поехать в разные города А , Б , В , Г , Д , Е . При этом X

может ехать только в А , Б , Д ; Y может ехать только в Б и Г ; Z может ехать только один и в В ; U

не может ехать вместе с Y ; V может ехать только с X и Z, но не в Д . В каком городе мог быть

каждый из них , если оказалось , что вдвоем они не были ни в одном городе .

6.30. Петя , Миша , Ваня , Коля , Дима должны одновременно поехать в города Нальчик ,

Москва , Серпухов , Тольятти , Норильск . При этом : Петя должен ехать только в Нальчик , Мо -

скву или Норильск ; Миша должен ехать только в Москву или Тольятти ; Ваня должен ехать

- 122 -только в Серпухов или Тольятти ; Коля может ехать в любой город ; Дима не может ехать вме -

сте с Ваней или Петей в Москву .

В каком городе мог быть каждый , если оказалось , что они не нарушили ни одно из этих

условий . Ответ обосновать минимумом рассуждений .

6.31. Известно , что имеющиеся на каждой из двух шкатулок надписи либо истинны , либо

ложны . Если надпись на первой шкатулке – « Изумруда в другой шкатулке нет », а на второй шка -

тулке – « В той шкатулке изумруд есть , а в этой – нет », то , что можно утверждать о месте нахож -

дения изумруда .

6.32. Виктор , Роман , Леонид и Сергей заняли на математической олимпиаде четыре первых

места . Когда их спросили о распределении мест , они дали три таких ответа :

1) Сергей – первый , Роман – второй ;

2) Сергей – второй , Виктор – третий ;

3) Леонид – второй , Виктор – четвертый .

Известно , что в каждом ответе только одно утверждение истинно . Как распределились места ?

6.33. Браун , Джонс и Смит обвиняются в преступлении . Они дают такие показания :

Браун : « Джонс виновен , а Смит невиновен ».

Джонс : « Если Браун виновен , то виновен и Смит ».

Смит : « Я невиновен , но хотя бы один из них двоих виновен ».

Кто виновен ?

6.34. Обсуждая свои возможности по поступлению в вуз , абитуриенты А , Б , В высказали

предположения : А ≈ « Я не смогу поступить , а В – поступит »; Б ≈ « В не поступит , а А ≈ посту -

пит »; В ≈ « Или я не поступлю или В ≈ не поступит ». После сдачи экзаменов выяснилось , что

каждый высказал одно верное и одно ложное простое утверждения . Кто поступил в вуз ?