Вопросы

1. Математика как наука. Значение математики в различных отраслях знаний.

2. Основные этапы истории развития математики.

3. Основные понятия математики. Системы счисления.

4. Непозиционные системы счисления.

5. Позиционные системы счисления.

6. Двоичная система счисления.

7. Понятия множества. Обозначения. Виды множеств.

8. Мощность множества. Диаграммы Эйлера-Венна.

9 Способы задания множеств. Характеристическое свойство.

10. Отношения между множествами.

11. Операции над множествами. Графическая интерпретация.

12. Свойства операций над множествами.

13. Прямое произведение множеств.

14. Алгебра высказываний. Истинность высказываний.

15. Логические операции. Обозначения и свойства.

16. Определение логических операций: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция.

17. Определение логических операций: импликация, эквиваленция.

18.Таблицы истинности. Равносильные формулы.

19. Равносильности логических операций.

20. История развития комбинаторики.

21. Правило суммы, правило произведения, факториал.

22. Перестановки.

23. Размещения.

24. Сочетания.

25. Формула бинома Ньютона.

26. Треугольник Паскаля

27. Возведение многочлена в степень

28. Случайные события: Испытания и события. Виды случайных событий

29. Классическое определение вероятности.

30. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

31. Теорема умножения вероятностей.

31. Дискретные случайные величины.

32. Математическое ожидание, его свойства.

33. Дисперсия, ее свойства.

34. Непрерывные случайные величины.

35. Среднее квадратическое отклонение случайной величины Х

36. Плотность вероятности

37. Равномерное распределение непрерывных случайных величин.

Задачи

Системы счисления

2.1. Переведите числа 7, 8, 9, 12, 15, 22, 27, 34, 37, 42, 54, 63, 70, 75, 82, 91, 101, 115, 128, 167,

201, 226, 354 из десятичной системы исчисления в двоичную , восьмеричную , шестнадцатеричную .

2.2. Переведите числа 10 2 , 11 2 , 100 2 , 101 2 , 111 2 , 1001 2 , 1101 2 , 10000 2 , 110001 2 , 10101010 2 ,

1110001 2 из двоичной системы исчисления в десятичную .

2.3. Переведите числа 12 8 , 24 8 , 32 8 , 45 8 , 52 8 , 63 8 , 71 8 из восьмеричной системы исчисления в

десятичную .

2.4. В какой системе исчисления записаны числа : 3A4, 23ƒ, 54CD, 124A?

2.5. Переведите числа 2AC, 44C, B32, C51, 5AB, 31CD, 79A из шестнадцатеричной систе -

мы исчисления в десятичную .

Теария множеств

3.1. Найти объединение , пересечение множеств А и В , где А = { 1,2,6,*,+,%,9,g,p,r } ,

В = { 2,6,%,s,b,r } .

3.2. Найти разность множеств А и В , где А = { 1,5,6,*,+,?,9,g,p,r } , В = { 2,6,%,s,b,r } .

3.3. N – множество натуральных чисел . Какое из множеств является его подмножеством :

А = {2, 4, 6, 8...}, В = (N2, N3, N4,...}; С = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ...}.

3.4. Найти пересечение множеств А = {1, 3, 5, 7, 9} и В = {2, 4, 6, 8}.

3.5. Найти объединение множеств А и В , если А = {1,3,5,7,9}; B = {2,4,6,8}.

3.6. Найти разность множеств А \ В , если А = {1,2,3,4}; B = {0,1,2}.

3.7. Найти А ∪ В , А ∩ В , А \ В , В \ А , если

а ) А = [4, 6], B = [3, 5];

б ) A = [3,5], B = (2,4);

в ) A = [5, 7], B = [4, 6);

г ) A = [1, 3], B = (0,2];

д ) A = (3, 5), B = (2, 4);

е ) A = (6, 8), B = [5, 7);

ж ) A = (0, 2), B = (-1, 1].

3.8. Определить мощность множеств В = { 2,6,%,s,b,r } и А = { 1,2,6,*,+,%,9,g,p,r } .

3.9. Найти прямое произведение множеств А и В , где А = { 0,1 } , В = { *, в } .

3.10. Прочтите записи и перечислите элементы каждого из множеств :

- 115 -а ) E = { х / х ∈ N, x < 7};

б ) ƒ = {x / x ∈ N 0 , x ≤ 3};

в ) K = {x / x ∈ N 0 , x < 2,5};

г ) L = {x / x ∈ Z, -4 < x < 7};

д ) P = {x / x ∈ Z, -4 ≤ x ≤ 6}.

3.11. Укажите , каким характеристическим свойством обладают элементы каждого из сле -

дующих множеств :

а ) { а , е , е , и , о , у , э , ы , ю , я };

б ) {23, 22, 21, 20, 19, 18, 17, 16, 15}.

3.12. Заданы множества : В = {20, 5, 80}, P = {20, 80, 87}, ƒ = {8, 20, 60, 75}. Верно ли , что

а ) В ⊂ Р ;

б ) Р ⊂ ƒ;

в ) В ⊂ ƒ;

г ) ƒ ⊂ B?

3.13. Приведите свои примеры графических иллюстраций пересечения и объединения двух

множеств .

3.14. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера - Венна пары множеств :

а ) А – множество студентов педагогического университета некоторого города , В –

множество студентов первого курса этого же педуниверситета ;

б ) Р – множество студентов первого курса педагогического университета , Е – множе -

ство студентов второго курса этого же педуниверситета .

3.15. Даны множества : А – прямоугольников , В – ромбов , С – квадратов . Покажите , что все

данные множества являются подмножествами множества параллелограммов U ( универсальное

множество ), изобразите указанные множества с помощью диаграмм Эйлера - Венна .

3.16. Докажите следующие тождества для множеств A, B, C, D, используя диаграммы

Эйлера - Венна :

а ) ( A \ B ) \ C = ( A \ C ) \ ( B \ C );

б ) A ∩ ( B \ C ) = ( A ∩ B ) \ ( A ∩ C ) = ( A ∩ B ) \ C ;

в ) ( A \ B ) \ C = ( A \ C ) \ ( B \ C );

г ) ( A ∩ B ) ∪ [ A ∩ В ] = ( A ∪ B ) ∩ [ A ∪ В ] = A;

д ) A \ ( B \ C ) = ( A \ B ) ∪ ( A ∩ C );

е ) A \ ( B ∪ C ) = ( A \ B ) \ C;

ж ) A ∪ B = A ∪ В ∪ А ∩ В ;

з ) A ∪ B = ( A ∪ В ) ∪ ( A ∩ B );

и ) ( A ∪ В ) \ C = ( A \ C ) ∪ В ∪ С ;

к ) ( A ∪ B ) \ C = ( A \ C ) ∪ ( B \ C );

л ) ( A ∪ В ) ∩ C = ( A ∩ C ) ∪ В ∩ С ;

3.17. Некоторое множество N имеет мощность n . Определите мощность множества M , пред -

ставляющего из себя множество всех подмножеств множества N.

3.18. Что является дополнением к множеству {1,3,5} во множестве {1,2,3,4,5,6}?

3.19. Что является дополнением к множеству {1,3,5} во множестве {1,3,5}?

3.20. Даны два множества : A = { 1 , 2 , 3 , 4 } , B = { 2 , 3 , 6 , 8 , 9 } ; запишите A × B .

3.21. Даны два множества : A = { 1 , 2 , 3 , 4 } , B = { 2 , 3 , 6 , 8 , 9 } ; запишите B × A .

3.22. Дано множество A = { 3 , 2 , 1 , 0 , 7 , 6 } . Запишите A × A .