Наименьшее общее кратное

Оказывается, кратное может быть общим у нескольких чисел. И сейчас нас будет интересовать кратное двух чисел, при этом оно должно быть максимально маленьким.

Определение. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел a и b — это наименьшее число, которое кратно a и b. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число a и число b.

Определение содержит две переменные a и b. Давайте подставим вместо этих переменных любые два числа. Например, вместо переменной a подставим число 9, а вместо переменной b подставим число 12. Теперь попробуем прочитать определение:

Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 — это наименьшее число, которое кратно 9 и 12. Другими словами, это такое маленькое число, которое делится без остатка на число 9 и на число 12.

Из определения ясно, что НОК это наименьшее число, которое делится без остатка на 9 и на 12. Этот НОК требуется найти.

Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) можно пользоваться двумя способами. Первый способ заключается в том, что можно выписать первые кратные двух чисел, а затем выбрать среди этих кратных такое число, которое будет общим для обоих чисел и маленьким. Давайте применим этот способ.

В первую очередь, найдем первые кратные для числа 9. Чтобы найти кратные для 9, нужно эту девятку поочерёдно умножить на числа от 1 до 9. Получаемые ответы будут кратными для числа 9. Итак, начнём. Кратные будем выделять красным цветом:

9 × 1 = 9

9 × 2 = 18

9 × 3 = 27

9 × 4 = 36

9 × 5 = 45

9 × 6 = 54

9 × 7 = 63

9 × 8 = 72

9 × 9 = 81

Теперь находим кратные для числа 12. Для этого, поочерёдно умножаем 12 на все числа 1 до 12:

12 × 1 = 12

12 × 2 = 24

12 × 3 = 36

12 × 4 = 48

12 × 5 = 60

12 × 6 = 72

12 × 7 = 84

12 × 8 = 96

12 × 9 = 108

12 × 10 = 120

12 × 11 = 132

12 × 12 = 144

Теперь выпишем кратные обоих чисел:

Кратные 9 это  числа { 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 }

Кратные 12 это числа { 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144 }

Теперь находим общие кратные для обоих чисел. Найдя, сразу закрасим их синим цветом:

Кратные 9 { 9 18 27 36 45 54 63 72 }

Кратные 12 { 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 }

Общими кратными для чисел 9 и 12 являются числа { 36, 72 }. Теперь среди найденных общих кратных находим наименьшее. Очевидно, это число 36.

Значит наименьшее общее кратное для чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:

НОК (9 и 12) = 36

36 : 9 = 4

36 : 12 = 3

Второй способ нахождения нок

Второй способ заключается в том, что числа, для которых ищется НОК раскладываются на простые множители. Затем, выписываются множители входящие в первое разложение, и добавляют недостающие множители из второго разложения. Полученные множители перемножают и получают НОК.

Применим данный способ для предыдущей задачи. Найдём НОК для чисел 9 и 12.

Разложим на множители число 9

Разложим на множители число 12

Выпишем первое разложение:

 3 × 3

Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет первом разложении. В первом разложении нет двух двоек. Их и допишем:

3 × 3 × 2 × 2

Теперь перемножаем эти множители:

3 × 3 × 2 × 2 = 36

Получили ответ 36. Значит наименьшее общее кратное для чисел 9 и 12 это число 36. Данное число делится на 9 и 12 без остатка:

36 : 9 = 4

36 : 12 = 3

НОК (9 и 12) = 36

Говоря простым языком, всё сводится к тому, чтобы организовать новое разложение куда входят оба разложения сразу. Разложением первого числа 9 являлись множители 3 и 3, а разложением второго числа 12 являлись множители 2, 2 и 3.

Наша задача состояла в том, чтобы организовать новое разложение куда входило бы и разложение числа 9 и разложение числа 12 одновременно. Для этого мы выписали разложение первого числа и дописали туда множители из второго разложения, которых не было в первом разложении. В результате получили новое разложение 3 × 3 × 2 × 2. Нетрудно увидеть воочию, что в него одновременно входит и разложение числа 9 и разложение числа 12

Пример 2. Найти НОК чисел 50 и 180

Разложим на множители число 50

Разложим на множители число 180

Выпишем первое разложение:

 2 × 5 × 5

Теперь допишем множители из второго разложения, которых нет первом разложении. В первом разложении нет ещё одной двойки и двух троек. Их и допишем:

 2 × 5 × 5 × 2 × 3 × 3

Теперь перемножаем эти множители:

2 × 5 × 5 × 2 × 3 × 3 = 900

Получили ответ 900. Значит наименьшее общее кратное для чисел 50 и 180 это число 900. Данное число делится на 50 и 180 без остатка:

900 : 50 = 18

900 : 180 = 5

НОК (50 и 180) = 900

Пример 3. Найти НОК чисел 8, 15 и 33

Разложим на множители число 8

Разложим на множители число 15

Разложим на множители число 33

Выпишем первое разложение:

 2 × 2 × 2

Теперь допишем множители из второго и третьего разложения, которых нет первом разложении. Допишем множители 3 и 5 из второго разложения, и множитель 11 из третьего разложения:

 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 11

Теперь перемножаем эти множители:

 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 11 = 1320

Получили ответ 1320. Значит наименьшее общее кратное для чисел 8, 15 и 33 это число 1320. Данное число делится на 8, 15 и 33 без остатка:

1320 : 8 = 165

1320 : 15 = 88

1320 : 33 = 40

НОК (8, 15 и 33) = 1320