Второй способ нахождения нод

Теперь рассмотрим второй способ нахождения наибольшего общего делителя. Суть данного способа заключается в том, что числа подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на простые множители. Затем из разложения первого числа вычеркивают множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся числа в первом разложении перемножают и получают НОД.

Например, найдём НОД для чисел 28 и 16 этим способом. В первую очередь раскладываем эти числа на простые множители:

Получили два разложения:   и 

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит семерка. Её и вычеркнем из первого разложения:

Теперь перемножаем оставшиеся множители и получаем НОД:

Число 4 является наибольшим общим делителем чисел 28 и 16. Оба этих числа делятся на 4 без остатка:

28 : 4 = 7

16 : 4 = 4

 НОД (28 и 16) = 4

Пример 2. Найти НОД чисел 100 и 40

Раскладываем на множители число 100

Раскладываем на множители число 40

Получили два разложения:

2 × 2 × 5 × 5

2 × 2 × 2 × 5

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входит одна пятерка (там только одна пятёрка). Её и вычеркнем из первого разложения

2 × 2 × 5 × 

Перемножим оставшиеся числа:

2 × 2 × 5 = 20

Получили ответ 20. Значит число 20 является наибольшим общим делителем чисел 100 и 40. Эти два числа делятся на 20 без остатка:

100 : 20= 5

40: 20= 2

 НОД (100 и 40) = 20.

Пример 3. Найти НОД чисел 72 и 128

Раскладываем на множители число 72

Раскладываем на множители число 128

Получили два разложения:

2 × 2 × 2 × 3 × 3

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Теперь из разложения первого числа вычеркнем множители, которые не входят в разложение второго числа. В разложение второго числа не входят две тройки (там их вообще нет). Их и вычеркнем из первого разложения:

2 × 2 × 2 × 

Перемножим оставшиеся числа:

2 × 2 × 2 = 8

Получили ответ 8. Значит число 8 является наибольшим общим делителем чисел 72 и 128. Эти два числа делятся на 8 без остатка:

72 : 8 = 9

128 : 8 = 16

 НОД (72 и 128) = 8

Нахождение нод для нескольких чисел

Наибольший общий делитель можно находить и для нескольких чисел, а не только для двух. Для этого, числа подлежащие поиску наибольшего общего делителя раскладывают на простые множители, затем находят произведение общих простых множителей этих чисел.

Например, найдём НОД для чисел 18,  24  и  36

Разложим на множители число 18

  Разложим на множители число 24

Разложим на множители число 36

   

Получили три разложения:

2 × 3 × 3

2 × 2 × 2 × 3

2 × 2 × 3 × 3

Теперь выделим и подчеркнём общие множители в этих числах. Общие множители должны входить во все три числа:

2 × 3 × 3

2 × 2 × 2 × 3 

2 × 2 × 3 × 3

Мы видим, что общие множители для чисел 18, 24 и 36 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

2 × 3 = 6

Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 18, 24 и 36. Эти три числа делятся на 6 без остатка:

18 : 6 = 3

24 : 6 = 4

36 : 6 = 6

 НОД (18, 24 и 36) = 6

Пример 2. Найти НОД для чисел 12, 24, 36 и 42

Разложим на простые множители каждое число. Затем найдём произведение общих множителей этих чисел.

Разложим на множители число 12

Разложим на множители число 24

Разложим на множители число 36

Разложим на множители число 42

Получили четыре разложения:

2 × 2 × 3

2 × 2 × 2 × 3

2 × 2 × 3 × 3

2 × 3 × 7

Теперь выделим и подчеркнём общие множители в этих числах. Общие множители должны входить во все четыре числа:

2 × 2 × 3

2 × 2 × 2 × 3 

2 × 2 × 3 × 3

2 × 3 × 7

Мы видим, что общие множители для чисел 12, 24, 36, и 42 это множители 2 и 3. Перемножив эти множители, мы получим НОД, который ищем:

2 × 3 = 6

Получили ответ 6. Значит число 6 является наибольшим общим делителем чисел 12, 24, 36 и 42. Эти четыре числа делятся на 6 без остатка:

12 : 6 = 2

24 : 6 = 4

36 : 6 = 6

42 : 6 = 7

 НОД (12, 24 , 36 и 42) = 6